微積分證明題

不保證絕對嚴謹、正確
若存在[0,1]內實數A1，使得f(A1)>0
則因為f(x)連續可微
必定存在相異實數0≦A2≦1
使得對所有A2≦x≦A3，f(x)>0恆成立
於是假設
g(x)=1, when A2≦x≦A3
g(x)=0, otherwise
知
∫(0~1) f(x)g(x)dx
=∫(A2~A3) f(x)dx>0→與題幹矛盾
→「存在[0,1]內實數A1，使得f(A1)>0」前提錯誤
→同理可推得「存在[0,1]內實數B1，使得f(B1)<0」錯誤
→依據三一律，知f(x)=0在[0,1]內恆成立，得證

2015-06-26 00:43:39 補充：
更正
"必定存在相異實數0≦A2≦1"
改為
"必定存在相異實數0≦A2

2015-06-26 00:45:13 補充：
我知道了
它的系統把我的符號吃掉了：
再改一下囉：必定存在相異實數0≦A2小於A1小於A3≦1

2015-06-26 21:26:26 補充：
抱歉，我今天也突然想到我的瑕疵：
修改如下
假設
g(x)=(x-A2)²(x-A3)², when A2≦x≦A3
g(x)=0, otherwise
以下相同

1. 此題若刪除可微是依然成立的，畢竟定積分於 [0,1]只要連續就夠了。
2. 萱萱的證明有重大瑕疵，你取的g(x)不是連續函數，故沒有造成預期的矛盾，但是這可以輕易修正好的。

取 g = f, 則, 依假設, 得 ∫_[0,1] (f(x))^2 dx = 0

若 f(x0) ≠ 0 for some x0 in [0,1], 則存在 d > 0 使得 |f(x)| > = |f(x0)|/2 for all
x in [x0-d,x0+d]∩[0,1]., 則 ∫_[0,1] (f(x))^2 dx > 0, 矛盾.

故 f(x) = 0 for all x in [0,1].


好像沒用到 '可微"? 我有哪裡弄錯嗎?

我相信是要用反證法：
假如有 f ≠ 0，找出有 g：[0,1] → ℝ 使得 ∫(從0積分到1) f(x)g(x)dx ≠ 0

2015-06-25 21:05:29 補充：
嗯．．．似乎「連續」已經足夠？