x²+9x為完全平方數

x² + 9x = N²==> x² + 9x + 20.25 - 20.25 = N²==> (x + 4.5)² - N² = 20.25==> (x + 4.5 + N)(x + 4.5 - N) = 20.25 = 40.5*0.5 = 13.5*1.5 情況一：x＋4.5 + N = 40.5x + 4.5 - N = 0.5得 x = 16, N = 20情況二：x + 4.5 + N = 13.5x + 4.5 - N = 1.5得 x = 3, N = 6
所以 x = 3 或 16，x 有 2 組解。

2015-06-24 22:26:15 補充：
因為 20.25 = 81/4 = (81/2)*(1/2) = (27/2)*(3/2)

即 40.5*0.5 及 13.5*1.5

x(x + 9) = (x + k)(x + k) , (0 < k < 9)
x² + 9x = x² + 2kx + k²
(9 - 2k)x = k²
x = k² / (9 - 2k) > 0 , 因 x >0 , k > 0 故 9 - 2k > 0 , 則 k = 1 , 2 , 3 , 4。
當 k = 1 , x = 1/7 (不合) , 當 k = 2 , x = 4/5 (不合)
當 k = 3 , x = 3 , 當 k = 4 , x = 16 , x 有 2 組。

擅自代 少年時 老師 回應 A先生：

因為 x 和 N 皆為整數，故 (x + 4.5 + N) 和 (x + 4.5 - N) 必為 (整數 + 0.5) 的樣式，考慮兩個數相乘也要考慮 (整數 + 0.5) × (整數 + 0.5) 的組合。

假設X^2 +9X=A^2，A∈N
利用一元二次方程式的公式解得X=[-9±√(81+4A^2)]/2......負不合
X=[√(4A^2 +81) -9]/2
由於X∈N，故√(4A^2 +81) -9為正偶數
√(4A^2 +81)為正奇數B，4A^2 +81=B^2
(B+2A)(B-2A)=81......平方差公式
因數B+2A＞因數B-2A
故(B+2A, B-2A)=(81,1)
81+1=(B+2A)+(B-2A)=2B
B=41，A=20，X=16
ANS：一個解