首先，積分變數變換應該人人都知吧！
我想問的是，算了，乾脆帶題目好了
拋物線（Y^2=2X)分割圓(X^2+Y^2=8)為兩部份，求此二部分面積為何？？？
解析的第一步我看得懂，他將二重積分分為兩塊，一塊Ｘ從0~2另一塊從2~8^(1/2)
但是他的Y區間我就不懂了，尤其是在運算過後，更是茫然未解！
因為圓和拋物線相交的關係，使得Ｙ上下限一看之下非常明顯，然而通常帶上下線，是只有一個式子，所以可以非常理所當然的帶入，但現在，出現了兩個式子（圓和拋物線），又同時都能帶入（因為是交點），那麼請問？我該帶入Y=(2X)^(1/2)~Y=-(2X)^(1/2)呢！還是Y=(8-X^2)^(1/2)~Y=-(8-X^2)^(1/2)！
題目解析是：Ｘ----0~2時，Ｙ -(2X)^(1/2)~(2X)^(1/2)，然後加上
Ｘ---2~8^(1/2)，Y -(8-X^2)^(1/2)~(8-X^2)^(1/2)
求出解是：小面積4/3+2π 剩下面積是：6π-4/3
原諒我國文爛到爆，但是我相信圖畫出來你們會非常清楚我的問題點！
而我，因為不清楚到底該怎麼算，我Ｘ的積分次序和他一樣，也有分兩段，
只是Ｙ的積分次序和他相反，因為我相說反正兩個式子都有經過那兩點，應該沒差，算出來卻是---我只算小圓面積：[16*2^(1/2)-4]/3+2π
不得不說，真的是太像了，但是，卻是錯的，代表無法這樣亂改，有一定次序，但是，為什麼？？？有什麼依據嗎？？？
然後，為了確定不是我計算錯誤，我又算了一遍，沒錯，我應該沒算錯！
如果回答，請附上最詳盡得解析，否則我真得看不懂！！
求微積分高手（尤其專長於重積分一塊）！！
2015-06-24 5:47 pm
回答 (3)
2015-06-25 4:31 am
✔ 最佳答案
https://www.facebook.com/sam.guo.3762/media_set?set=a.988527327833661.1073741840.100000292108201&type=32015-06-24 11:41:38 補充：
如果上面看不到 請參考:
https://www.facebook.com/photo.php?fbid=988529227833471&set=pcb.988529314500129&type=1&theater
2015-06-24 20:31:42 補充：
拋物線（Y^2=2X)分割圓(X^2+Y^2=8)為兩部份，求此二部分面積為何？？？
請參考:
https://www.facebook.com/photo.php?fbid=988529227833471&set=pcb.988529314500129&type=1&theater
2015-06-25 4:05 am
非常詳細的說明（Sam)，抱歉，老怪物，你的說明太深奧難解了，我看不懂，重點是，你們po在意見我最佳解答要選誰啊！？
這麼客氣都不要點數嗎？
----------如果你們都在意見回答，那我想給點數也無能為力！
這麼客氣都不要點數嗎？
----------如果你們都在意見回答，那我想給點數也無能為力！
2015-06-24 9:53 pm
拋物線（Y^2=2X)分割圓(X^2+Y^2=8)為兩部份，求此二部分面積為何？？？
拋物線與圓之交點:
y^2 = 2x = 8-x^2 解得 (2,-2) 與 (2,2).
圓被拋物線分割成兩部分:
(1) 右邊區域: x^2+y^2 < = 8 且 x > = y^2/2
(2) 左邊區域 x^2+y^2 < = 8 且 x < = y^2/2
2015-06-24 13:54:01 補充：
以 (1) 而言,
固定 x 則 |y| < = √(8-x^2) 且 |y| ≦ √(2x)
不限 y, 則 x 的範圍:
最左邊是在 y^2=2x, x 的最小值是 0;
最右邊是在圓上, x^2 = 8-y^2, 最大值是 √8
2015-06-24 13:54:25 補充：
所以這個區域可以寫成
{(x,y): 0 < = x < = √8, |y| < = √(8-x^2) 且 |y| < = √(2x)}
= { (x,y): 0 < = x < = √8, |y| < = min{ √(8-x^2), √(2x) } }
= { (x,y): 0 < = x < = 2, |y| ≦ √(2x) }
∪ { (x,y): 2 < = x < = √8, |y| < = √(8-x^2) }
2015-06-24 13:54:45 補充：
也就是說, 化成 iterate integral 時, (內層) 先對 y 積分, (外層) 再
對 x 積分, 需分成兩段: x 從 0 到 2 這一段, y 是由 |y| < = √(2x)
所限定; x 從 2 到 √8 這一段, y 是由 |y| < = √(8-x^2) 所限定.
2015-06-24 13:55:16 補充：
這個區域(拋物線右邊) 也可以寫成:
{ (x,y): |y| < = 2, y^2/2 < = x < = √(8-y^2) }
也就是說: 先固定 y 來看 x, 因為是考慮拋物線右邊, 所以 x > = y^2/2;
因為是圓內, 所以 |x| < = √(8-y^2). 兩條件放一起, 就成了上述 x 的範圍.
2015-06-24 13:55:34 補充：
不限制 x 時, y 的範圍當然受限於 y^2 < = 8-x^2. 但也受限於 y^2 < = 2x,
也就是說, y^2 < = min{ 8-x^2, 2x}. 右邊是在兩曲線交點處達到最大, 也就
是 x = 2 時, 此時 8-x^2 = 4, 2x 也是 4, 因此 y^2 < = 4, 或即 |y| < = 2.
所以做 iterated integral 時姑果內層先對 x 積分, 外層再對 y 積分, 就是
∫_{|y| < = 2} ∫_{ y^2/2 < = x < = √(8-x^2) } dx dy.
2015-06-24 13:55:48 補充：
至於拋物線左邊部分, 如果直接計算積分, 則不論先對 x 積分或先對 y 積分,
都需要分割成 3個小區域. 取代方式就是用對整個顆區域的積分減掉拋物線右
邊那塊的積分.
2015-06-24 13:57:42 補充：
Sam 已給圖文並茂的詳解了, 所以我只在意見區提供說明.
拋物線與圓之交點:
y^2 = 2x = 8-x^2 解得 (2,-2) 與 (2,2).
圓被拋物線分割成兩部分:
(1) 右邊區域: x^2+y^2 < = 8 且 x > = y^2/2
(2) 左邊區域 x^2+y^2 < = 8 且 x < = y^2/2
2015-06-24 13:54:01 補充：
以 (1) 而言,
固定 x 則 |y| < = √(8-x^2) 且 |y| ≦ √(2x)
不限 y, 則 x 的範圍:
最左邊是在 y^2=2x, x 的最小值是 0;
最右邊是在圓上, x^2 = 8-y^2, 最大值是 √8
2015-06-24 13:54:25 補充：
所以這個區域可以寫成
{(x,y): 0 < = x < = √8, |y| < = √(8-x^2) 且 |y| < = √(2x)}
= { (x,y): 0 < = x < = √8, |y| < = min{ √(8-x^2), √(2x) } }
= { (x,y): 0 < = x < = 2, |y| ≦ √(2x) }
∪ { (x,y): 2 < = x < = √8, |y| < = √(8-x^2) }
2015-06-24 13:54:45 補充：
也就是說, 化成 iterate integral 時, (內層) 先對 y 積分, (外層) 再
對 x 積分, 需分成兩段: x 從 0 到 2 這一段, y 是由 |y| < = √(2x)
所限定; x 從 2 到 √8 這一段, y 是由 |y| < = √(8-x^2) 所限定.
2015-06-24 13:55:16 補充：
這個區域(拋物線右邊) 也可以寫成:
{ (x,y): |y| < = 2, y^2/2 < = x < = √(8-y^2) }
也就是說: 先固定 y 來看 x, 因為是考慮拋物線右邊, 所以 x > = y^2/2;
因為是圓內, 所以 |x| < = √(8-y^2). 兩條件放一起, 就成了上述 x 的範圍.
2015-06-24 13:55:34 補充：
不限制 x 時, y 的範圍當然受限於 y^2 < = 8-x^2. 但也受限於 y^2 < = 2x,
也就是說, y^2 < = min{ 8-x^2, 2x}. 右邊是在兩曲線交點處達到最大, 也就
是 x = 2 時, 此時 8-x^2 = 4, 2x 也是 4, 因此 y^2 < = 4, 或即 |y| < = 2.
所以做 iterated integral 時姑果內層先對 x 積分, 外層再對 y 積分, 就是
∫_{|y| < = 2} ∫_{ y^2/2 < = x < = √(8-x^2) } dx dy.
2015-06-24 13:55:48 補充：
至於拋物線左邊部分, 如果直接計算積分, 則不論先對 x 積分或先對 y 積分,
都需要分割成 3個小區域. 取代方式就是用對整個顆區域的積分減掉拋物線右
邊那塊的積分.
2015-06-24 13:57:42 補充：
Sam 已給圖文並茂的詳解了, 所以我只在意見區提供說明.
收錄日期: 2021-05-04 02:03:25
原文連結 [永久失效]:
https://hk.answers.yahoo.com/question/index?qid=20150624000015KK05065