數學高手.現代高斯.數學天才請進

(1)
min{n | 10^n =1 mod 977} = 976, 又(777,977)=1,
故777/977為循環小數,循環節=976位數
(2)
10^296 mod 977= 699
777*699 mod 977= 888
8880 / 977 = 9 .. 87
故777/977 小數點後第297位數= 9
(1)'
min{ n |10^n =1 mod 19} = 18, 故1/19有18個循環節
(2)'
296 mod 18= 8
10^7 mod 19 = 15
15*10 / 19 = 7.~ , 故1/19小數點後第297位數= 7

(3)(4)參考意見欄001




2015-06-24 01:15:21 補充：
sorry, (2)' 少算了一位數, 更正如下:
297 mod 18=9
10^8 mod 19=17
17*10 / 19=8.~ , 故1/19小數點後第297位數=8

2015-06-24 19:58:23 補充：
以1/7為例
10^k (k=1~8) mod 7= 3, 2, 6, 4, 5, 1, 3, 2 (即1/7計算過程的餘數)
6個一循環, 每個餘數相對一個商數, 故知6個循環節＿
以3/7為例
將上述6個餘數乘以3再除以7即得, 仍為6位循環

2015-06-24 20:06:56 補充：
以1/19為例:
by Fermat's little thm: 10^18=1 (mod 19)
但10^2 = 5 (mod 19) 不是1
10^9 = 18 (mod 19) 不是1
so,滿足10^n =1 (mod 19)最小 n=18
故 1/19改為小數時為18個循環節

2015-06-24 20:14:12 補充：
1/977為例:
(1) 977為質數, 由Fermat little thm: 10^976 =1 (mod 977)
(2) 976= 61*16
10^16 = 624 (mod 977) 不是1
10^488 =976 (mod 977) 不是1
so, 滿足10^n=1 (mod 977)最小n=976
故 1/977改為小數得976個循環節

2015-06-24 20:38:38 補充：
10^k (k=1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256) mod 977 分別得
10, 100, 230, 142, 624, 530, 501, 889, 905
488=256+128+64+32+8
10^488 = 10^256*10^128*10^64*10^32*10^8
故 10^488= 905*889*501*530*142 =976 (mod 977)

1/19是循環小數，0.052631578947368421......

(2)
7770 / 977 = 7 ... 931
9310 / 977 = 9 ... 517
5170 / 977 = 5 ... 285

可歸納為:
下一個被除數 = 上一個餘數 * 10

2015-06-20 23:20:38 補充：
利用 Excel VBA 計算, 程式碼:

Sub my_Divide()

n = 7770
d = 977

For i = 1 To 297
Cells(i, 1) = Int(n / d)
n = 10 * (n Mod d)
Next

End Sub

計算結果:
A297儲存格 = 9
Ans: 小數點後第297位是 9

(1) 977 是質數, 777*10^k 不可能是 977 的侶數
(977 **非10倍正整數) 的尾數是 7,4,1,8,5,2,9,6,3.

至於循環節是幾位數, 還沒想到解法.


(3) 27*log10(17) = 33.222120877213396070584587146865, 因此是 34位數,



(4) 10^0.222120877213396070584587146865
= 1.6677113221686882875135357274155
因此 17^27 最高位寫起是 1667711322... 所以從個位往左算第30位數字是 7.

2015-06-22 07:19:17 補充：
看到 Lopez 在 2F 的歸納, 本以為果然天才提出公式了, 那麼
是否後知後覺的我可以得到啟發證明出什麼結果? 再一想這
不就是除法計算-的步驟嗎?

我不會 VBA, 直接用 Excel 表格計算. 結果發現: 777/977 的
循環節可能長達 976 位. 如果我沒有看錯, 那就是說 n/977 型
的非整數有理數 (n 是非 977 之倍數的正整數), 其小數表示法
都是循環節長 976 位的循環小數.