隨機猜測的平均誤差 一問

如果 "隨機猜" 指的是各以 1/3 機率來猜, 那麼:

當正確類別是 1 時, 平均誤差是 (0+1+2)/3 = 1
當正確類別是 2 時, 平均誤差是 (1+0+1)/3 = 2/3
當正確類別是 3 時, 平均誤差與正確類別是 1 時相等.

所以, 如果正確類別為 1, 2, 3 的機率依次是 p1, p2, p3,
其中 p1+p2+p3 = 1, 則總合平均誤差是
1*p1+(2/3)*p2+1*p3 = p1+p3+(2/3)p2 = 1-(p2)/3.


另一方面, 如果正確類別如上述是依某一機率分布 (p1,p2,p3),
則
猜測是第1類別的平均誤差是 0*p1+1*p2+2*p3 = 1-p1+p3
猜測是第2類別的平均誤差是 1*p1+0*p2+1*p3 = 1-p2
猜測是第3類別的平均誤差是 2*p1+1*p2+0*p3 = 1-p3+p1

以 r1, r2, r3 分別為猜測是類別 1,2,3 的機率, r1+r2+r3 = 1,
則總平均誤差是
r1*(1-p1+p3)+r2*(1-p2)+r3*(1-p3+p1)
= 1 - (r1*p1+r2*p2+r3*p3) + (r1*p3+r3*p1)
= 1 - r2*p2 - (r1-r3)*(p1-p3)
在 p1, p2, p3 已知的情況, 考慮 r2 = 1-r1 -r3, 把上述平均誤差用
E 表示, 對 r1, r3 偏微, 得
∂E/∂(r1) = 1-2(p1)
∂E/∂(r3) = 1-2(p3)
據此可以得到最佳決策: 讓平均誤差最小的猜法.



2015-06-19 15:13:10 補充：
什麼是 "隨機猜中的期望值"? 這名詞有問題!

正確類別是1 時
隨機猜中的期望值 1/3 * [ (1-1) + (2-1) + (3-1)] = 1
正確類別是2 時
隨機猜中的期望值 1/3 * [ (2-1) + (2-2) + (3-2)] = 2/3
正確類別是3 時
隨機猜中的期望值 1/3 * [ (3-1) + (3-2) + (3-3)] = 1

平均誤差 = 1/3 * (1 + 2/3 + 1) = 8/9

這樣算對嗎?