母子根式相關問題

令 √( 9 + √12 + √20 + √60 ) = √x + √y + √z , (x > 0 , y > 0 , z > 0)兩邊平方得
9 + √12 + √20 + √60 = x + y + z + 2√(xy) + 2√(yz) + 2√(zx)
9 + 2√3 + 2√5 + 2√15 = x + y + z + 2√(xy) + 2√(yz) + 2√(zx) 於是有 x + y + z = 9 , xy = 3 , yz = 5 , zx = 15那麼 xy yz zx = 3 × 5 × 15 ⇔ (xyz)² = 15² ⇒ xyz = 15
得 x = xyz/(yz) = 15/5 = 3 , y = 1 , z = 5因此 √( 9 + √12 + √20 + √60 ) = 1 + √3 + √5
考慮 3 + √5 = √(8 + 2√15) > √(8 + 1) = 3 及 √3 + √5 = √(8 + 2√15) < √(8 + 2√16) = 4
故由 1 + √3 + √5 = 4 + (√3 + √5 - 3) 得 a = 4 , b = √3 + √5 - 3。


2015-06-17 19:44:21 補充：
「考慮 3 + √5 = √(8 + 2√15) > √(8 + 1) = 3 及 √3 + √5 = √(8 + 2√15) < √(8 + 2√16) = 4」
修正為
「考慮 1 + √3 + √5 = 1 + √(8 + 2√15) > 1 + √(8 + 1) = 4
及 1 + √3 + √5 = 1 + √(8 + 2√15) < 1 + √(8 + 2√16) = 5」