梯形對角線的長

在 ΔDBC 中：
cos∠BDC = (DB² + DC² ‒ BC²) / (2 × DB × DC) (餘弦定律)
cos∠BDC = (6² + 6² ‒ 7²) / (2 × 6 × 6)
cos∠BDC = (6² + 6² ‒ 7²) / (2 × 6 × 6)
cos∠BDC = 23/72
∠BDC = 71.37°

AB//CD (已知)
∠ABD = ∠BDC = 71.37° (內錯角 AB//CD)

在 ΔABD 中：
由於 DA = DB，故此 ΔABD 為等腰三角形。
兩底角 ∠A = ∠ABD = 71.37°

∠ADB + ∠A + ∠ABD = 180°
∠ADB + 71.37° + 71.37° = 180°
∠ADB = 37.26°

在 ΔADC 中：
AC² = DA² +DC² ‒ 2 × DA × DC × cos∠ADC (餘弦定律)
AC² = 6² + 6² ‒ 2 × 6 × 6 × cos(71.37° + 37.26°)
AC = 9.75

2015-06-13 12:37:16 補充：
國中解法：

連 AC。延長 AD 至 H，DH = 6

∠HDC = ∠DAB (同位角 AB//CD)
∠BDC = ∠ABD (內錯角 AB//CD)
但 ∠DAB = ∠ABD (ΔABD 中等邊對等角)

∠HDC = ∠BDC (公理)
DB = DH = 6 (已知及作圖)
DC = DC (公共邊)
所以 ΔDHC ≡ ΔDBC (SAS)
HC = BC = 7 (全等Δ對應邊)

以 D 為圓心，AH 為半徑，可作一半圓ACH。
∠ACH = 90° (半圓內圓周角)

在直角三角形 ACH 中：
AC² + 7² = (6 + 6)² (勾股定理)
AC = √95

2015-06-13 12:40:56 補充：
「AH 為半徑」 應是 「AH 為直徑」 之誤。

2015-06-13 13:01:43 補充：
另解：

連 AC。延長 BD 至 K，DK = 6

以BDK 為直徑，可作一半圓ACK。
∠BCK = 90° (半圓內圓周角)

在ΔBCK 中：
KC² + BC² = BK² (勾股定理)
KC² + 7² = (6 + 6)²
KC = √95

設 ∠DAC = a
∠DCA = ∠DAC = a (Δ等腰對等角)
∠BAC = ∠DAC = a (內錯角 AB//CD)
∠DBA = ∠DAB = 2a (Δ等腰對等角)
∠BDC = ∠DBA = 2a (內錯角 AB//CD)

2015-06-13 13:01:48 補充：
另解：

連 AC。延長 BD 至 K，DK = 6

以BDK 為直徑，可作一半圓ACK。
∠BCK = 90° (半圓內圓周角)

在ΔBCK 中：
KC² + BC² = BK² (勾股定理)
KC² + 7² = (6 + 6)²
KC = √95

設 ∠DAC = a
∠DCA = ∠DAC = a (Δ等腰對等角)
∠BAC = ∠DAC = a (內錯角 AB//CD)
∠DBA = ∠DAB = 2a (Δ等腰對等角)
∠BDC = ∠DBA = 2a (內錯角 AB//CD)

2015-06-13 13:01:52 補充：
另解：

連 AC。延長 BD 至 K，DK = 6

以BDK 為直徑，可作一半圓ACK。
∠BCK = 90° (半圓內圓周角)

在ΔBCK 中：
KC² + BC² = BK² (勾股定理)
KC² + 7² = (6 + 6)²
KC = √95

設 ∠DAC = a
∠DCA = ∠DAC = a (Δ等腰對等角)
∠BAC = ∠DAC = a (內錯角 AB//CD)
∠DBA = ∠DAB = 2a (Δ等腰對等角)
∠BDC = ∠DBA = 2a (內錯角 AB//CD)

2015-06-13 13:04:40 補充：
由於奇摩出現錯誤，另解的下半部：

∠CDK = 180° ‒ ∠BDC = 180° ‒ 2a (直線同側鄰角和)
∠CDA = 180° ‒ ∠DAC ‒ ∠DCA = 180° ‒ 2a (Δ內角和)

∠CDK = ∠CDK (已證)
DA = DK = 6 (已知及作圖)
DC = DC (公共邊)
所以 ΔCDK ≡ ΔCDA (SAS)
AC = KC = √95 (全等Δ對應邊)

√(12² - 7²) = √95