(數學)應用統計學問題

1.假設X表投擲硬幣2次出現正面的次數，Y表投擲一粒骰子出現的點數，試求:

　(1)　|X-Y|　的機率分配

　X \ Y |　　1　　2　　3　　　4　　5　　　6
　　0　|　1/24　1/24　1/24　1/24　1/24　1/24
　　1　|　1/12　1/12　1/12　1/12　1/12　1/12
　　2　|　1/24　1/24　1/24　1/24　1/24　1/24

　Z = |X-Y|　　　　　　　　　　　　　　　機率
　　0　　　|　(1,1),(2,2)　　　　　 |　1/12+1/24＝3/24
　　1　　　|　(0,1),(1,2),(2,1),(2,3)　|　1/24+1/12+1/24+1/24 = 5/24
　　2　　　|　(0,2),(1,3),(2,4)　　　 |　1/24+1/12+1/24 = 4/24
　　3　　　|　(0,3),(1,4),(2,5)　　　 |　1/24+1/12+1/24 = 4/24
　　4　　　|　(0,4),(1,5),(2,6)　　　 |　1/24+1/12+1/24 = 4/24
　　5　　　|　(0,5),(1,6)　　　　　 |　1/24+1/12 = 3/24
　　6　　　|　(0,6)　　　　　　　　 |　1/24

　Z = |X-Y|　　0　　1　　　2　　3　　4　　　5　　6
　　P(Z)　　3/24　5/24　4/24　4/24　4/24　3/24　1/24


　(2)承上題，求期望值與變異數
　　E(z) = Σ zp(z)
　　　　= 0*3/24 + 1*5/24 + 2*4/24 + 3*4/24 + 4*4/24 + 5*3/24 + 6*1/24
　　　　= 31/12 ..... 期望值

　　E(z²) = Σz²p(z)
　　　　 = 0²*3/24 + 1²*5/24 + 2²*4/24 + 3²*4/24 + 4²*4/24 + 5²*3/24 + 6²*1/24
　　　　 = 29/3

　　Var(z) = E(z²) - [E(z)]² = 29/3 - (31/12)² = 2.993 ..... 變異數


2.A學生想通過某數學考試，其每次通過數學考試的機率為0.6，另X表A學生考數學考試的次數，試問:
　(1) X之機率分配為何?寫出機率函數
　　　X ~ Geo(p)
　　　f(x) = p(1-p)ˣ⁻¹ 　　x = 1,2,3,.....
　　　　　= 0.6*0.4ˣ⁻¹

　(2) A學生預期要可幾次數學考試，才能通過?
　　　E(X) = 1/p = 1/0.6 = 5/3

　(3) A學生於第三次通過數學考試的機率為何?
　　　f(3) = 0.6*0.4³⁻¹ = 0.096

　(4) 某補習班保證學員至多考2次即可通過考試，假設A學生為這家補習班的學員，請問A學生不砸這家補習班招牌的機率為何?
　　　f(1) + f(2) = 0.6*0.4¹⁻¹ + 0.6*0.4²⁻¹ = 0.6+ 0.24 = 0.84


對於Poisson分配近似二項分配採用時機 :

　(1) 二項分配 Bin(n,p) , 當 n→∞ , p ≤ 0.01 時採用 Poisson分配
　(2) 期望值 E(X) = λ = np
　　 變異數 V(X) = λ

我不知道.................................................................................... ..................................................................................................... ...................................................................................................... ......................................................................................................... .......................................................................................................... ......................................................................................................... ..................................................................................................... ...................................................................................................... ....

是 "近似"(approximate) 吧? 稱 "模擬" 怪怪的. 畢竟 "模擬"(simulate)
在機率與統計方面有其特定意義.


事實上 Poisson 與 binomial 可以說是相互近似. 在介紹或推導 Poisson
分布時, 除了用微分方程式的方法, 就是用二項分布去近似描述 Poisson
過程中的 Poisson 變量的分布.

2015-06-10 03:56:09 補充：
第1題的 (1) 可用表格法. 不過, 題目似乎寫得不清楚,
"投擲硬幣出現正面的次數" 究竟是投幾次硬幣?


第2題的 X 的分布是幾何分布. X = k 就是前 k-1 次的
Bernoulli trials 都沒成功, 而第 k 次 trial 是成功的, 所
以 P[X=k] = p(1-p)^{k-1}.

Poisson分配 模擬 二項分配 (Binomial Distribution)

X ~ B(n, p)

當 n 大，p 小 時，考慮 λ = np = E(X)

可作 X ~ Po(λ) 的近似模擬。