Xn 最小是那個正整數

如果分母是質數，我的方法亦是硬拼的。因為 8＜107/13＜9，所以由 107 的 9 倍試起。又 107x9＝3x321＝1x963，13/107＝117/963＝(107＋9＋1)/963＝1/9＋1/107＋1/963即最小的 Xn 是 963。
若果分母是合成數，則首先將它����為分母是質數的分數相加(或相減)9/119＝11/17－4/7 ⋯⋯ [或 3/7－6/17]若是相減，則找出一個分數是在此兩個分數之間，分母越細越好，雙數更好，5/8 最合適 (後面的是 3/8)，所以，9/119＝11/17－4/7 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ [3/7－6/17]＝(11/17－5/8)＋(5/8－4/7) ⋯⋯ [(3/7－3/8)＋(3/8－6/17)]＝3/136＋3/56 ⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯ [3/56＋3/136]＝1/136＋1/68＋1/56＋1/28 ⋯ [1/56＋1/28＋1/136＋1/68]所以最小的 Xn 是 136。
*若用 7/12，即＝(11/17－7/12)＋(7/12－4/7)＝13/204＋1/84＝1/204＋1/17＋1/84即意見欄的 004
**若用 9/14，即＝(11/17－9/14)＋(9/14－4/7)＝1/238＋1/14即意見欄的 002

2015-06-07 11:35:43 補充：
用 7/12 時，即
＝(11/17－7/12)＋(7/12－4/7)
＝13/204＋1/84
＝3/204＋4/204＋6/204＋1/84
＝1/68＋1/51＋1/34＋1/84
即意見欄的 005

沒有考慮到 13 太多組合。

9/119 = 1/14 + 1/238

四個分數時:

9 / 119 = 1/34 + 1/51 + 1/68 + 1/84
Xn = 84

( 對不起,我偷懶,丟給電腦算的 )

2015-06-07 16:32:20 補充：
若 n = 4,
9 / 119 = 1/X1 + 1/X2 +1/X3 + 1/X4

利用 Excel VBA 列出可能解:
( 程式碼省略 )
只有一組解:
34, 51, 68, 84
( 即 9/119 = 1/34 + 1/51 + 1/68 + 1/84 )
X4 = 84

Q: 若n≠4 , 是否還有更小的 Xn ?
Sol:
9 / 119 ≒ 1/13.2 < 1/13
所以 1 ~ 13 不用考慮, 範圍限縮在 14 ~ 84
( 84暫保留,作為後續驗證程式是否正確之參考 )
令 S =Σ Ck / k , k = 14 ~ 84 , Ck = 0 或 1
若 S = 9/119 , 則 S =Σ Ck / k 即為解.
最大可能組數 = 2^(84-14+1) = 2^71 ≒ 2.36*10^21
這已超出一般PC的合理計算能力,所以需再次限縮範圍.

因為 119 = 7*17
由各位先進所算出的結果,大膽假設以下性質.(我不會證明)
性質: 所有 Xk 必為 7 或 17 的倍數.

若以上性質為真,則 Xk 只有以下15種可能:
14,17,21,28,34,35,42,49,51,56,63,68,70,77,84
令 X1 = 14 , X2 = 17 , ..... , X15 = 84
S =ΣCk / Xk , k = 1 ~ 15 , Ck = 0 或 1
若 S = 9/119 , 則 S =ΣCk / Xk 即為解.
因為線性係數 ( C1, C2 , ..... , C15 ) 本身形成二進位數,
所以可以利用For 迴圈index十進位,轉為二進位作為係數,
完整程式碼為:

Sub Find_Xn()

Dim C(15), X(15) As Integer
k = 1
r = 1

For i = 14 To 84
If (i Mod 7 = 0) Or (i Mod 17 = 0) Then
X(k) = i
k = k + 1
End If
Next

For i = 3 To 2 ^ 15 - 1
Temp = i
S = 0
Sol = ""

For j = 1 To 15
C(j) = Temp Mod 2
S = S + C(j) / X(j)
Temp = Int(Temp / 2)
Next

If S = 9 / 119 Then
For j = 1 To 15
If C(j) > 0 Then
Sol = Sol & X(j) & " "
End If
Next

Cells(r, 1) = Sol
r = r + 1
End If
Next

End Sub

執行結果僅一組解: 34, 51, 68, 84

Ans: Xn 最小值為84 , 若以下性質為真:
性質: 所有 Xk 必為 7 或 17 的倍數.

有趣，我也找得一個

9/119＝1/17＋1/84＋1/204

原來 714 不是最小，仲有 238。

有人有更好的答案,我就刪去我的解答,我的方法類似"現代科學人"的,只會用拼的

2015-06-07 09:45:51 補充：
所以這種題目是無解?(一直有人算出更小的數字)

大大~您好~雖然我不確定真正解法是哪個~但我自己找出了一個比較奇怪的方法~

先令Xn為119的倍數，但倍數有很多種，我們先找乘上119乘上10以下的倍數~

當您將119乘上9後，會變成1071，9/119擴分成81/1071，再移項處理，會變成

80/1071=1/X1+1/X2+...，然後我們先試試 "若等號右邊剩下兩項的假設"~

80/1071=(X1+X2)/X1*X2，那勢必要找出兩個1071的因數，相乘等於1071，相加等於80~

最後再對1071做因數分解得出X1=17，X2=63~


至於13/107也是用同樣的方法~

先令Xn=107 x 9=963，13/107=117/963=1/X1+1/X2+...+1/963

使用 "若等號右邊剩下兩項的假設"~

116/963=(X1+X2)/X1*X2，再因數分解，我們會發現X1=9，X2=107~

2015-06-06 17:32:03 補充：
補充: 您也可以參考意見區 網友"自由自在"的答案~

若Xn=119 x 2=238，然後9/119=18/238=1/X1+1/X2+...+1/238

再來您會發現17/238=1/X1+1/X2 ("若等號右邊剩下兩項的假設")

對238因數分解，238=2 x 7 x 17，那麼X1=2 x 7=14，1/X1=1/14=17/238

這麼一來連X2都不需要，能夠直接得到您要的答案了~

基本上在我們不知道正確解法的情況下，只能像這樣去湊答案，但也可以有規則得去湊它~

2015-06-06 17:44:35 補充：
總之，這題的解法關鍵就是先建立Xn跟等號左邊分母的倍數關係，再"若等號右邊剩下兩項的假設"，

這是為了要簡化右式。但隨著情況的不同，可以彈性調整這假設。

接著再對Xn因數分解，找到X1,X2等等後，就可證明Xn就是我們要的答案了~