統計學估計問題

u=36 , α= 0.05 , σ=12 , N=300 , n=50 , Zα/2= 1.96

1. 有限群體 n/N > 5%, 因此應加上有限群體校正:
　σx̄ = σ/√n * √[(N-n)/(N-1)] = 12/√50 * √[(300-50)/(300-1)] = 1.552
　誤差界限是 1.96×1.552 = 3.04

　員工平均年齡的95%信賴區間 : (32.96 , 39.04)


2. Zα/2 * σ/√n = 2
　1.96*12/√n = 2
　n = 138.298 ≒ 139

　有限群體之下的樣本數: n* = n/(1+ n/N) = 139/(1+139/300) = 95

感謝老怪物前輩

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由於是有限群體, n/N > 10%, 因此應加上有限群體校正:
樣本平均數的標準差 (舊稱: 樣本平均數的標準誤)
σ(Xbar) = σ/√n √[(N-n)/(N-1)] = 12/√50 √[(300-50)/(300-1)] = 1.552
因此, 第1小題誤差界限是 1.96×1.552 = 3.04



第2小題, 無限群體假設下算出樣本數 n* = 139, 應修正為有限
群體之下的樣本數: n = n*/(1+ n*/N) = 139/(1+139/300) = 95

2015-06-04 10:43:44 補充：
關於: 有限群體是 n/N 小於 10% 還是 5% ? 這並不一定, 只是一項
rule of thumb 罷了! 關鍵是容許多少計算結果之誤差.


當 n/N 為 5% 時, 有群群體校正數 √[(N-n)/(N-1)] ≒ √(1-n/N) 大約
0.975; 當 n/N 為 10% 時有限群體校正數的效果大約 0.949. 也就
是說沒加 fpc 使誤差迡虛漲大約抽出率 n/N 的一半.


而就本題而言, 特別是計算所需樣本大小時, 顯然在無限群體假設下
的樣本數偏高許多, 而此時 n/N 也甚高, 都快 2 抽 1 了. 考慮是有限
群體之後所需樣本數因此縮減了不少.

2015-06-04 17:11:00 補充：
"有限群體是 n/N 小於 10% 還是 5% ? " 這問題基本上是問錯了!

應該說: 需考慮有限群體校正的, 是 n/N 在某個值以上. 一般採用
的 rule of thumb 有 n/N 在 10% 以上, 也有說是在 5% 以上. 不同
的參考準則, 只是因容許的計算公式誤差不同罷了.