數學硬幣問題組合

設二元、五元及十元的數量分別為 a、b 和 c。則 100 ≥ a, b, c ≥ 0 及 a + b + c = 100。則 n = 2a + 5b + 10c。假設有另一組 (a, b, c) 的數值（說 (a', b', c')）使得 n 的數值一樣，則 2a + 5b + 10c = 2a' + 5b' + 10c' = n，而 a' + b' + c' = 100。

=> 2(a+b+c) + 3b + 8c = 2(a'+b'+c') + 3b' + 8c'
=> 2×100 + 3b + 8c = 2×100 + 3b' + 8c' => 3(b - b') = 8(c' - c)

當 b = 0，(a, b, c) 的組合有 101 個（a 為 0 至 100 的整數，而 c = 100 - a）
當 b = 1，(a, b, c) 的組合有 100 個（a 為 0 至 99 的整數，而 c = 99 - a）
當 b = 2，組合有 99 個；當 b = 3，組合有 98 個；當 b = 4，組合有 97 個；當 b = 5，組合有 96 個；當 b = 6，組合有 95 個；當 b = 7，組合有 94 個。

當 b ≥ 8，必存在 b' = b - 8 及 c' = c + 3 使得 3(b - b') = 8(c' - c) => (a, b, c) 和 (a', b', c') 時 n 的數值一樣。

因此當 b ≥ 8，再沒有與 b = 0 至 7 的整數中不同的 n 的數值，故 n 的可能值數量為當 b = 0 至 7 的整數時 (a, b, c) 的組合：
= 94 + 95 + 96 + 97 + 98 + 99 + 100 + 101
= 780

答案為 780。

2文就有200，5文就有500，10文就有1000。

2015-06-02 20:14:57 補充：
有錯嗎﹖沒有喔﹗