排列與組合(中五)

1.
假設有 n 名參賽者。

原本應進行的比賽場數 = nC2場

每人應進行 (n ‒ 1) 場比賽，有參賽者只進行 3 場比賽。
該參賽者缺席場數 =(n ‒ 1) ‒ 3 場 = n ‒ 4 場

另一名參賽者缺席 2 場，但該兩名參賽者未曾對賽。
不需比賽的場數 = (n‒ 4) + 2 ‒ 1 = n ‒ 3 場

nC2 ‒ (n ‒ 3) = 57
[n! / 2!(n ‒ 2)!] ‒ (n ‒ 3) = 57
[n(n ‒ 1)/2] ‒ (n ‒ 3) = 57
n(n ‒ 1) ‒ 2(n ‒ 3) = 114
n² ‒ n ‒ 2n + 6 = 114
n² ‒ 3n ‒ 108 = 0
(n ‒ 12)(n + 9) = 0
n = 12 或 n = ‒9 (不合)

最初參加者人數 = 12 人


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2.
(i)
把嘉良排在最左 (1P1)，把慧賢排在最右（1P1），最後在餘下 78人中選 6 人排在餘下 6 個位置 (78P6)。

排列數目
= 1P1 × 1P1 × 78P6種
= 1 × 1 × (78! / 72!) 種
= 1.85 × 10¹¹ 種

(ii)
把嘉和慧賢排在兩端 (2P2)，然後在餘下 78人中選 6 人排在餘下 6 個位置 (78P6)。

排列數目
= 2P2 × 78P6 種
= 2 × (78! / 72!) 種
= 3.70 × 10¹¹ 種

(iii)
情況一：
若嘉良排在最右 (1P1)，則慧賢可在餘下 7 個位置中選一個 (7P1)，最後在餘下 78人中選 6 人排在餘下 6 個位置 (78P6)。

情況二：
若嘉良不是排在最右，則他首先在最左和最右以外的 6 個位置選一個位置 (6P1)。然後慧賢在除了最右的餘下 6 個位置中選 1 個位置 (6P1)。最後在餘下 78人中選 6 人排在餘下 6 個位置 (78P6)。

排列數目
= 1P1× 7P1 × 78P6 + 6P1× 6P1 × 78P6
= 1 × 7 × (78! / 72!) + 6 × 6 × (78! / 72!)
= 7.95 × 10¹² 種

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