F.5 軌跡

1.
(a)
PA = √[(x ‒ 6)² + (y ‒ 0)²]
PA = √(x² + y² ‒ 12x + 36)

PB = √[(x ‒ 0)² + (y ‒ 2)²]
PA = √(x² + y² ‒ 4y + 4)

(b)
PA = 3PB
√(x² + y² ‒12x + 36) = 3√(x² + y² ‒ 4y + 4)
x² + y² ‒12x + 36 = 9(x² + y² ‒ 4y+ 4)
x² + y² ‒12x + 36 = 9x² + 9y² ‒ 36y+ 36
8x² + 8y² +12x ‒ 36y = 0
P 的軌跡方程： 2x² + 2y² + 3x‒ 9y = 0


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2.
設 P 點的坐標為 (x, y)。

PA 的斜率 = (y ‒ 1) / (x ‒ 2)
PB 的斜率 = (y ‒ 1) / (x ‒ 4)

PA ⊥ PB，故此 (PA的斜率) × (PB的斜率) = ‒1
[(y ‒ 1) / (x ‒ 2)] × [(y ‒ 1) / (x ‒ 4)] = ‒1
(y ‒ 1)² = ‒(x ‒ 2)(x ‒ 4)
y² ‒ 2y + 1 = ‒x² +6x ‒ 8
P 的軌跡方程： x² + y² ‒2y ‒ 6x + 9 = 0


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3.
(a)
P 與固定點 A 保持 3 單位的距離。
Q 為 AP 中點，故 Q 與固定點 A 保持 3/2 單位的距離。
因此，Q 的軌跡為半徑 3/2 單位的圓。

(b)
設 Q 的坐標為 (x, y)。
QA = 3/2
√[(x + 1)² + (y + 2)²] =3/2
(x + 1)² + (y + 2)² = 9/4
x² + 2x + 1 + y² +4y + 4 = 9/4
4x² + 4y² + 8x+ 16y + 20 = 9
Q 的軌跡方程： 4x² + 4y² + 8x+ 16y + 11 = 0

你可以到一個叫做奧林匹克數學網既地方睇下