數學非選題

1)利用數學歸納法証明 xⁿ⁺¹ + n > (n + 1)x :
當 n = 1 時, x² + 1 > 2x ⇒ (x - 1)² > 0 對 x > 1 成立。
設當 n = k 時 xᵏ⁺¹ + k > (k + 1)x 成立,
當 n = k+1 時,
xᵏ⁺² + k+1
= (x - 1)xᵏ⁺¹ + (xᵏ⁺¹ + k) + 1
> (x - 1)xᵏ⁺¹ + (k + 1)x + 1 (利用歸納假設)
> (x - 1)1ᵏ⁺¹ + (k + 1)x + 1
= (k + 2)x 成立, 証畢~
2)明顯當 BC+AD 取極大值時有 AD > R。
而 ½ BC = √(R² - OD²) ; AD = R + OD , 則BC + AD
= R + OD + 2√(R² - OD²)不妨設 R = 1 , OD = x ≤ 1 , 令 BC + AD = y , 得
y = 1 + x + 2√(1 - x²)
(y - x - 1)² = 4 - 4x²
y² - 2y(x + 1) + x² + 2x + 1 = 4 - 4x²
5x² + (2 - 2y)x + y² - 2y - 3 = 0
△ = (2 - 2y)² - 20(y² - 2y - 3) ≥ 0
(y - 1)² - 5(y² - 2y - 3) ≥ 0
y² - 2y - 4 ≤ 0
(y - 1)² ≤ 5
y ≤ √5 + 1當 y = √5 + 1 , △ = 0 , 符合 x = (2y - 2) / 10 = √5 / 5 ≤ 1 ,
故 BC + AD 的極大值 = R(√5 + 1)。