國中重心求面積問題

三角形的面積係 27。

2015-05-13 13:13:59 補充：
明顯地，G為EF的中點，所以，△EGB面積＝△FGC面積＝a，假設。
因為梯形BCFG的面積為12，所以△GBC面積＝12－a。
由重心的定義，得知△ABC面積＝3*△GBC面積＝36－3a。
由比例線段的定義，得知若△ABC的高為 3h，則△AEF的高係 2h。
所以，
△AEF面積：△ABC面積＝(2h)²：(3h)²
==> [(36－3a)－(12＋a)]/(36－3a)＝4/9
==> 9(24－4a)＝4(36－3a)
==> 216－36a＝144－12a
==> 72＝24a
==> a＝3

∴ 三角形ABC的面積：
36－3a
＝36－3(3)
＝27 (平方單位)

邊位都好 ( 大學級 2 級 )您好
方便提供解答過程嗎?
謝謝

設 ΔABC 面積為 a。

設經過 A 點的中線為 AGH。
依重心的性質， AG : AH = 2 : 3

由於 EF//BC，故此 ΔAEF ~ ΔABC。

相似三角形面積與對應邊的平方成正比。
ΔAEF面積 : ΔABC面積 = AG² : AH²
(a - 12) : a = 2² : 3²
(a - 12) : a = 4 : 9
9(a - 12) = 4a
9a - 108 = 4a
5a = 108
a = 21.6

ΔABC 的面積 = 21.6

設梯形的高為h, 令 線段BC 的中點為D

由重心的定義, (線段AG) : (線段GD) = 2 : 1
由比例線段的定義, 知 三角形AEF的高為2h, 三角形ABC的高為3h

則梯形的面積為 1/2(上底+下底)*高 = 1/2(線段EF + 線段BC)*h = 12
推得 (線段EF) + (線段BC) = 24/h ......(1)

又 三角形ABC的面積 - 梯形的面積 = 三角形AEF的面積
即 1/2 * (線段BC) * 3h - 1/2 * (線段EF + 線段BC) * h = 1/2 * (線段EF) * 2h
等號兩邊同時約分得 3(線段BC) - (線段EF) - (線段BC) = 2(線段EF)
推得 2(線段BC) = 3(線段EF) ......(2)

解(1)(2), 得 5/3 * (線段BC) = 24/h, 推得 (線段BC) * h = 72/5

故 三角形ABC的面積 = 1/2 * (線段BC) * 3h
　　　　　　　　　　= 3/2 * (線段BC) * h
　　　　　　　　　　= 3/2 * 72/5
　　　　　　　　　　= 108/5