高中數學 二項式定理

考慮 (1 + x)¹ºº 展開式中 x⁴⁹ 的係數為 100C49 ;

另一方面, (1 + x)¹ºº = (1 + x)⁵º (1 + x)⁵º = (50C0 + 50C1‧x + 50C2‧x² + ... + 50C49‧x⁴⁹ + 50C50‧x⁵º)
× (50C0 + 50C1‧x + 50C2‧x² + ... + 50C49‧x⁴⁹ + 50C50‧x⁵º)

展開後 x⁴⁹ 的係數為
50C0 × 50C49 + 50C1 × 50C48 + 50C2 × 50C47 + ... + 50C49 × 50C0
= 50C0 × 50C1 + 50C1 × 50C2 + 50C2 × 50C3 + ... + 50C49 × 50C50

∴ 50C0 × 50C1 + 50C1 × 50C2 + 50C2 × 50C3 + ... + 50C49 × 50C50
= 100C49


2015-05-12 23:46:54 補充：
除二項式定理外, 也可從組合角度去解釋。

50C0 × 50C1 + 50C1 × 50C2 + 50C2 × 50C3 + ... + 50C49 × 50C50

= 50C0 × 50C49 + 50C1 × 50C48 + 50C2 × 50C47 + ... + 50C49 × 50C0

= 從50男選0人及從50女選49人的方法數
+ 從50男選1人及從50女選48人的方法數
+ 從50男選2人及從50女選47人的方法數
+ ......
+ 從50男選50人及從50女選0人的方法數

= 從50男50女任選49人的方法數

= 100C49

2015-05-13 00:10:15 補充：
+ 從50男選50人及從50女選0人的方法數
修正為
+ 從50男選49人及從50女選0人的方法數

像這類用C去取, 且累加（或加減交錯）的題目, 上標是n, 下標從0~n(有的多轉一個彎, 改考 1~n)

都可以用二項式定理

不然的話, 真用C的基本算式去求, 會累死....（︿︿）