國中數學(面積)

一長方形其邊長為整數，面積可表成12x^2－50x+80之形式，其中x為正整數
若已知其一邊為5，則另一邊至少為何?
(A)106 (B)23 (C)28 (D)182
Sol
設另一邊長=a
5｜12x^2－50x+80
5｜12x^2
5｜x^2
5｜x
設x=5y，另一邊長=a
12x^2－50x+80=5a
12*25y^2－250y+80=5a
300y^2－250y+80－5a=0
60y^2－50y+(16－a)=0
D=p^2=50^2－4*60*(16－a)>=0，p為整數
p^2=2500－3840+240a
p^2=240a－1340
p為偶數
設p=2q，q為整數
240a－1340=4q^2
60a－335=q^2
q為奇數
a=(q^2+335)/60=(q^2+35)/60+5
60｜(q^2+35)
5｜q^2
5｜q
Set q=5r
a=(25r^2+335)/60=(5r^2+67)/12
r為奇數
(1) r=1
a=6
12x^2－50x+80=5a
12x^2－50x+80=30
12x^2－50x+50=0
6x^2－25x+25=0
(2x－5)(3x－5)=0
x=5/2 or x=5/3 (不合)
(2) r=3
a=(45+67)/12=28/3(不合)
(3) r=5
a=(125+67)/12=16
12x^2－50x+80=80
12x^2－0x=0
x=0 or x=12/5(不合)
(4) r=7
a=(245+67)/12=26
12x^2－50x+80=130
12x^2－50x－50=0
6x^2－25x－25=0
(6x+5)(x－5)=0
x=－5/6 or x=5
So
a=26
28>26
(C)

題目改成：另一邊長a，x 皆是正整數,　選項Ｃ：２６, 解題過程如下:
==========================================
面積 = 5 * a
　　 = 12x^2 - 50x + 80
　　 = 2(6x^2 - 25x + 40 )
　　 = 2(5x^2 - 25x + 40 + x^2)

因為 a,x 皆為 正整數, 且 2與5互質
故 a必為2的倍數（即偶數）, x必為5的倍數

當 x=5 時, 5a = 12*5^2 - 50*5 + 80 = 130
得 a=26為最小值

不保證絕對正確
當我將x=0帶入，可得另一邊為16，即與題目所給答案產生矛盾
所以可以問一下出題先生，是否命題上還需補述者。

以下說明我的想法：
Sol
假設另一邊長為a，a∈N
則12x^2-50x+80=5a
→12x^2-50x+80-5a=0
→又x∈N(有解)，判別式≥0
→2500-48*(80-5a)≥0
→250≥24*(16-a)
→24a≥134
→a≥134/24，又134/24非整數且[134/24]=5
→a≥6
~~~
(12x^2-50x+80)/5之值即是吾人所欲求：
又x∈Z且(12x^2-50x+80)/5∈N
又：
12x^2-50x+80
≡2x^2 (mod 5)
≡0 (mod 5)
→5│x
另外，當│x-(50/24)│愈小，則(12x^2-50x+80)/5愈小
列舉討論鄰近整倍數點
WHEN：
1.x=0
a=16
2.x=5
a=26
故顯然，當x=0時，另一邊為16，是最小可能解
答案無解#(應改為16)

2015-05-12 22:18:34 補充：
致 小蝦不理 知識友：
由於C選項為28
故依您的改法恐怕仍然不能選C
請多指教。

2015-05-12 22:19:33 補充：
對不起，我看錯您的意思了
請自行忽略以上補充

2015-05-12 22:22:17 補充：
我也提出我的看法：
倘若題目依照 小蝦不理 知識友的更正方式：
那麼x=0與題幹不符
最接近的可能乃是x=5→a=26
故應選C選項
註：
煩請版主作出題目的補述更正
方便吾人回答做題，謝謝！

2015-05-12 23:39:49 補充：
那麼我覺得題目應該出錯了。

若答案是 (C)，則長方形兩邊是 5 及 28，則正方形面積：
12x^2 - 50x + 80 = 140
解得 x 不是整數。