國中數學題目

1)設各區塊以2作結, 則首 n 個區塊共有 n 個 1 及 1+2+3+...+n 個 2.
n + (1 + 2 + 3 + ... + n) ≤ 1234
n + n(n+1)/2 ≤ 1234
n² + 3n - 2468 ≤ 0
- 51.2... ≤ n ≤ 48.2...
故第 1234 項位於第49個區塊的第 1234 - (48 + 48×49/2) = 10 個,
到第1234項之總和為 48 + 2(1 + 2 + 3 + ... + 48) + 1 + 2×9 = 2419 .
2)設另兩個頂點分別為 (x , y) 及 (- x , - y) , 則
(y - 3)/(x - 4) × (y + 3)/(x + 4) = - 1
y² - 9 = 16 - x²
x² + y² = 25
(x , y) =
(0 , 5) , (0 , - 5) 或 (5 , 0) , (- 5 , 0) 或 (3 , 4) , (- 3 , - 4) 或 (3 , - 4) , (- 3 , 4) 或
(4 , 3) , (- 4 , - 3) ... 捨去
故滿足此條件的矩形個數有 4 個, 答案: (C) .
3) 2000條直線每條皆被其他1999條直線分為2000段,共 2000 × 2000 段, 扣除每條頭尾的2條射線共 2000 × 2000 - 2000 × 2 = 2000 × 1998, 答案: (C) .
4)設直角三角形兩直角邊為 a 和 b ,則 S = ab/2 , 斜邊 = 2d , 周長 = a + b + 2d ,
由勾股定理得
a² + b² = (2d)²
a² + b² + 2ab = (2d)² + 4S
(a + b)² = 4(d² + S)
(周長 - 2d)² = 4(d² + S)
周長 = 2 ( d + √(d² + S) )

2015-05-08 06:07:25 補充：
修正 2):
設另兩個頂點分別為 (x , y) 及 (- x , - y) , 則
(y - 3)/(x - 4) × (y + 3)/(x + 4) = - 1
y² - 9 = 16 - x²
x² + y² = 25
(x , y) =
(0 , 5) , (0 , -5) 或 (5 , 0) , (-5 , 0) 或 (3 , 4) , (-3 , -4) 或 (3 , -4) , (-3 , 4)
或 (-4 , 3) , (4 , -3) 或 (4 , 3) , (- 4 , - 3) ... 捨去
故滿足此條件的矩形個數有 5 個, 答案: (D) .

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