國中三角形問題

△ABC的面積是1平方公分，AC上有D，E兩點，AD=DE=EC，BC上有
G，F兩點，BG=GF=FC，求AG，AF，BE， BC所圍出四邊形面積為何?
Sol
向量作法
AG，BE相交於H，AF，BE相交於I
A向量F=(1/3)AB向量+(2/3)AC向量
=(1/3)AB向量+(2/3)*(3/2)AE向量
=(1/3)AB向量+AE向量
(1/3)+1=4/3
AF向量=(1/3)AC+AE向量
AI=(3/4)AF
AG向量=(2/3)AB向量+(1/3)AC向量
=(2/3)AB向量+(1/3)*(3/2)AE向量
=(2/3)AC向量+(1/2)AE向量
(2/3)+(1/2)=7/6
AH=(6/7)AG
So
△AHI：△AFG=(3/4)*(6/7)：1*1
△AHI=(1/3)*(3/4)*(6/7)=3/14
四邊形HIFG=△AFG－△AHI=1/3－3/14=5/42

樓上大大:

請問如何推論出以下的結論呢

BQ：QE=3：1，BP：PE=3：4

謝謝

　　　　Ａ


　　　　　　　Ｄ


　　　　　　　　　　Ｅ
　　　　　　　Ｑ
　　　　Ｐ
Ｂ　　　Ｇ　　　Ｆ　　　Ｃ
由題目推論，BQ：QE=3：1，BP：PE=3：4
BP：PQ：QE=12：9：7
△CEF=1/9△ABC=1/9，△BEF=2/9，
△QEF=2/9*1/4=1/18，
△BQF=2/9-1/18=1/6
△BPG=1/6*(1*12)/(2*21)=1/21
PGFQ=1/6-1/21=5/42

2015-04-29 15:49:45 補充：
另外想法：
BP：PQ：QE=12：9：7
PGFQ=△BFQ-△EFQ-△BPG
=2/9-2/9*7/28-2/9*12/28*1/2
=5/42