多次方程式問題

1.
設實數 2＋√3 的整數部分為 a，小數部分為 b。若 p 為有理數且 b 為方程式 ax²＋px－6＝0 之一根，則 p＝？

1 < 3 < 4
√1 < √3 < √4
1 < √3 < 2

√3 的整數部分 = 1
2 + √3 的整數部分 a = 2 + 1 = 3
2 + √3 的小數部分 b = (√3) - 1

ax² + px - 6 = 0
3x² + px - 6 = 0

b 為方程式一根，把 b = (√3) - 1 代入方程式中：
3[(√3) - 1]² + p[(√3) - 1] - 6 = 0
9 - 6√3 - 3 + p(√3) - p - 6 = 0

由於 p 為有理數，故此：
- 6√3 + p(√3) = 0
p = 6

另法：
b = -1 + √3 為方程式3x² + px - 6 = 0 的兩根。
另一根為 -1 - √3

兩根之和：
-p/3 = (-1 + √3) + (-1 - √3)
-p/3 = -2
p = 6


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2.
已知a≠2，若方程式x²+ax+2=0之二根差的平方與方程式x²+2x+a=0之二根差的平方 相等，則a=

設 α1 及 β1 為 x² + ax + 2 = 0 為方程式的兩根。
兩根和 = α1 + β1 = -a
兩根積 = α1β1 = 2

兩根差的平方
= (α1 - β1)²
= (α1 + β1)² - 4α1β1
= (-a)² - 4(2)
= a² - 8

設 α2 及 β2 為 x² + 2x + a = 0 為方程式的兩根。
兩根和 = α2 + β2 = -2
兩根積 = α2β2 = a

兩根差的平方
= (α2 - β2)²
= (α2 + β2)² - 4α2β2
= (-2)² - 4(a)
= 4 - 4a

兩方程式的兩根差平方相等：
a² - 8 = 4 - 4a
a² + 4a - 12 = 0
(a - 6)(a - 2) = 0
a = 6 或 a = 2 (不合)

2015-04-27 17:30:37 補充：
第二題 最後兩行打錯了，應是：
(a + 6)(a - 2) = 0
a = -6 或 a = 2 (不合)

2015-04-27 17:39:31 補充：
第一題：

1 < √3 < 2
所以 √3 = 1.xxxx......
所以 √3 - 1 = 0.xxxx......

2 + √3 = 2 + (1.xxxx......) = 3.xxxx......
2 + √3 的小數部分 = 0.xxxx...... = √3 - 1

2015-04-27 23:19:01 補充：
一元二次方程式 ax² + bx + c = 0 的兩根為 (-b ± √Δ)/2 = (-b/2) ± √(Δ/4)
其中 Δ = b² - 4ac
故此知一根為 m + √n，另一根必為 m - √n
今知一根為 -1 + √3，另一根則為 -1 - √3

2015-04-27 23:29:49 補充：
α 及 β 為 x² - 5x - 2 = 0 的兩根。
兩根之和：α + β = 5
兩根之積：αβ = -2

α² + β² = (α + β)² - 2αβ = 5² - 2(-2) = 29
α²β² = (αβ)² = (-2)² = 4

所求之方程為 x² - 29x + 4 = 0

根號3比1大比2小
所以是1. ……
顯然b是…… =根號3-1
另外最後因式分解的小錯誤
樓主很顯然沒有仔細看過程
請檢討自己求學是否用心～