不知哪來的式子? 沒有前言後語, 難保它是正確的.
原題
lim_{x→0} (2dy)/(xdx) = 2 d^2y/dx^2
或 lim_{x→0} (2/x)(dy/dx) = 2(d/dx)^2 y
2015-04-20 07:11:59 補充：
如果 dy/dx at x=0 時為 0, 則
(2/x)(dy/dx) = 2 (dy/dx - 0)/(x-0)
當 x→0 時, lim_{x→0} (2 dy/dx)/x 正是 2 (d/dx)^2 y at x=0 的定義式.
如果僅知 lim_{x→0} dy/dx = 0, 則
lim_{x→0} (2 dy/dx)/x = lim_{x→0} 2 (d/dx)^2 y
條件是右邊極限存在.
2015-04-20 07:12:13 補充：
注意以上二者是不同的. 因為即使 y 的2階導數 (d/dx)^2 y 處處存在,
也不一定在 x=0 處連續, 因此不保證
lim_{x→0} (d/dx)^2 y = (d/dx)^2 y at x=0
至於以上兩種情形之外, 無法計算(不適用所謂 羅必達).
而且, 結果只寫 2 (d/dx)^2 y 是不對的! 因為左式的結果如果存在,
是一個定值, 而不是一個含變數的東西; 而右式沒有指定在哪裡取
值, 也就是一個 x 的函數. (假設 y 是 x 的函數.)
2015-04-21 15:38:25 補充：
羅必達3種類型, 其中兩種是 0/0.
(1) f, g 在 x=a 可微, 且 f(a) = g(a) = 0, 則
lim_{x→a} f(x)/g(x) = f'(a)/g'(a)
2015-04-21 15:38:42 補充：
(2) f, g 在 a 的鄰近皆可微 (a 點本身除外),
且 lim_{x→a} f(x) = 0 = lim_{x→a} g(x).
在此種情形如 lim_{x→a} f'(x)/g'(x) = L 存在, 或為 +∞, 或為 -∞,
則 lim_{x→a} f(x)/g(x) = L (可能是 +∞ 或 -∞).
2015-04-21 15:38:53 補充：
(3) f, g 在 a 的鄰近皆可微 (a 點除外), 且
lim_{x→a} g(x) = +∞ 或 -∞,
在此種情形如 lim_{x→a} f'(x)/g'(x) = L 存在, 或為 +∞, 或為 -∞,
則 lim_{x→a} f(x)/g(x) = L (可能是 +∞ 或 -∞).
2015-04-21 15:44:31 補充：
注意在第一種情形, 用的就是導數定義:
f(x)/g(x) = (f(x)-0)/(g(x)-0) = [(f(x)-f(a))/(x-a)]/[(g(x)-g(a))/(x-a)] → f'(a)/g'(a)
因此, 如 lim_{x→0} sin(x)/x 這樣的題目不適用羅必達.
如本例 lim_{x→0} (dy/dx)/x (設 dy/dx at x=0 時為 0) 亦然.
第2/3 兩種情形的證明用的是 Cauchy Mean Value Theorem.
其證明一般初微教本大概沒有, 要看高微教本, 如 Rudin 的
Mathematical Analysis.
2015-04-22 12:43:36 補充：
y, x 視為 t 的函數, 且 x→0 等同於 t→0, 並有 dy/dt = 0 at t=0 或
dy/dt→0 as t→0, 用羅必達於 2(dy/dt)/(x dx/dt) 結果正如 Bennett
的回答. 也就是說他確實回答了你的問題, 除了一些細節未注意.
