~ N 個非整有理數 ~

明顯地，n＝1，����可行。
n＝2，做得 '和' 係整數時，'積' 唔係；'積' 係整數時；'和' 又唔係。
當 n＝3，因為 1/2＋1/3＋1/6＝1，所以 (1+2a)/2＋(1+3b)/3＋1/6＝a＋b＋1若 1＋2a＝9p，1＋3b＝4q，則 (1+2a)/2＊(1+3b)/3＊1/6＝pq例如：a＝4，b＝1，即三個有理數係 9/2、4/3 及 1/6和＝9/2＋4/3＋1/6＝6積＝9/2＊4/3＊1/6＝1所以 n＝3 成立。
當 n＞3：因為 (1＋3^n) 係雙數，假設等於 2m情況一：n＝3k＋1。第一個有理數係 1/2，第二個係 (3^n)/2，第三個係 4/3，其餘嘅係 2/3。則和＝1/2＋(3^n)/2＋4/3＋(n－3)(2/3) ＝(1＋3^n)/2＋[4＋2(3k＋1－3)]/3 ＝m＋2k ⋯⋯ (一個整數)積＝1/2＊(3^n)/2＊4/3＊(2/3)^(n－3) ＝2^(2+n-3-2)＊3^(n-n+2) ＝9＊2^(n-3) ⋯⋯ (亦是一個整數, 因為 n＞3)所以 n＝3k＋1 成立。
情況二：n＝3k＋2。第一個有理數係 1/2，第二個係 (3^n)/2，其餘嘅係 2/3。則和＝1/2＋(3^n)/2＋(n－2)(2/3) ＝(1＋3^n)/2＋2(3k＋2－2)]/3 ＝m＋2k ⋯⋯ (一個整數)積＝1/2＊(3^n)/2＊(2/3)^(n－2) ＝2^(n-2-2)＊3^(n-n+2) ＝9＊2^(n－4) ⋯⋯ (亦是一個整數, 因為 n＞3)所以 n＝3k＋2 亦成立。
情況三：n＝3k＋3。第一個有理數係 1/2，第二個係 (3^n)/2，第三個同第四個係 4/3，其餘嘅係 2/3。則和＝1/2＋(3^n)/2＋4/3＋4/3＋(n－4)(2/3) ＝(1＋3^n)/2＋[8＋2(3k＋3－4)]/3 ＝m＋2k＋2 ⋯⋯ (一個整數)積＝1/2＊(3^n)/2＊4/3＊4/3＊(2/3)^(n－4) ＝2^(4+n-4-2)＊3^(n-n+2) ＝9＊2^(n-2) ⋯⋯ (亦是一個整數, 因為 n＞3)所以 n＝3k＋3 都成立。
結論：只要 n≧3，此命題成立。

2015-04-19 19:02:32 補充：
你太客氣了，你被之前嘅答案錯誤地去了死胡同。

2015-04-20 12:46:03 補充：
第一題係我突發奇想諗到的。
第二題好明顯係 雨後 老師希望有人好似你噤答，而且又一路都冇人提出
1/2＋1/3＋1/6＝1
所以先可以問第三題。

Btw, 知足 老師學嘢真係好快，知識吸收能力非常之強，說一知十。

2015-04-28 10:00:12 補充：
當 n＝2 時，假設其中一個非整有理數為 a/b，a 及 b 互質。

情況 '和' 係整數時，則另一個會係 (kb－a)/b。
明顯地，(kb－a) 及 b 亦互質，所以此兩數之 '積' 唔係整數。

情況 '積' 係整數時，則另一個會係 kb/m，其中 m 為 a 嘅因子，且 k 及 m 互質。
'和'＝a/b＋kb/m＝(ma＋kb²)/(ab)
m 及 a 都唔係 b 嘅因子，且，k 及 b 亦唔係 a 嘅因子，所以此兩數之 '和' 唔係整數。

哈囉~版大你好~

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樂樂:
為甚麼你認為‘4’ 應該是不能的?

逐步分析。

N = 1 不可行。
N = 2 也不行：
http://math.stackexchange.com/questions/710337/sum-and-product-of-two-rational-numbers-are-both-integers

大於 3 的所有奇數皆是可能值。
即 2n + 1 其中 n > 1。

寫 2n + 1 = (2n - 2) + 3。

2n - 2 個 (3^A/2) 及 3 個 (2^B/3) 之和及積必為整數，其中 A 和 B 可以設為任意大的整數。

2015-04-19 06:12:02 補充：
已確定：
Ｘ：1, 2
✓ ：5, 7, 9, 11, 13, 15, ...

未確定：3, 4, 6, 8, 10, 12, ...

(a)
3 和 4 應該是不能的，但證明要想想。
(b)
根據邊位都好老師，偶數若是某些情況也成立。

2015-04-19 07:19:42 補充：
可能是可以的，只是未想到～

大偶數也肯定可以～

例如 N = 8。

3 個 (5^A/3) 和 5 個 (3^B/5) 就 OK 了。

再想想 Goldbach's conjecture 應該 even numbers OK。

2015-04-19 07:20:33 補充：
小的數要個別想想～

N = 3?
N = 4?

今天沒有空，看看知識長 或者 那些年 老師會否試答～

﹝｡◕‿◕｡◕‿◠｡﹞

2015-04-19 15:30:07 補充：
謝謝 邊位都好 老師 的指導。

太開心了～

╭∧---∧╮
│ .✪‿✪ │
╰/) ⋈ (\\╯

2015-04-20 11:54:21 補充：
其實係我忽略了一個基本的等式：

1/2 + 1/3 + 1/6 = 1

2015-04-21 17:35:49 補充：
真係多謝 雨後 前輩 同埋 邊位都好 老師 的分析。

唔知 那些年 老師 幾時會番黎～
點瞧 大哥 都已經番左黎～

大家保重～