1.厄爾、波特以及卡羅是某笑話圖比賽的優勝者，並以3:2:1分得一批糖果。由於某特殊原因，他們分別在不同時間來領取獎品，若每個人都認為自己是第一位領取獎品者，且依他們各自所占的比例拿走糖果，則最後未被領取的糖果占全部糖果的幾分之幾?
2.一數列依照下列的順序，1，2，1，2，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，1...，以1分隔成多個區塊，而第n個區塊中有n個2，則是問到第1234項之總和為何?
3.四邊形ABCD，已知角A=120度，B和D都是直角，線段AB=13，線段AD=46，是求線段AC=?
4.一矩形其兩不相鄰的頂點為(4，3)與(-4，-3)，且另兩個頂點的x，y坐標皆為整數。
試問滿足此條件的矩形個數有幾個?
5.平面上有2000條直線，它們每兩條都不平行，每三條都不交於一點，它們彼此相交而成的線段的條數是?
6.直角三角形的面積為S，斜邊上的中線為d，則這個三角形的周長為?
7.據報導目前用超級計算機找到的最大質數是2^859433 -1，這個值數的末位數字是?
國中數學題目
2015-04-18 5:08 am
回答 (2)
2015-04-18 7:54 pm
✔ 最佳答案
第一題由於他們都認為自己是第一個領獎的得主
所以厄爾、波特、卡羅分別會拿取剩餘糖果的3/6、2/6、1/6
也就是1/2、1/3、1/6
而不論誰先誰後
所求= (1-1/2)(1-1/3)(1-1/6) =5/18
PS：因為三人都能順利拿走糖果
所以糖果數必須是18的倍數
否則此題無解
ANS：5/18
第二題
如果每一項都是2
所求=1234*2=2468
但是原來的數列包含N個1
實際上所求=2468-N
而原來的數列包含N個1
可能是1234項形成完整的N個區塊
或是N-1個完整區塊加上一個不完整的區塊
所以N個區塊的項數≧1234
由於第N個區塊有N+1項
所以N個區塊的項數是首項為2公差為1的等差級數和
2+3+4+...+N+1可以看成是1+2+3+...+N每項+1
因此級數和=N(N+1)+N=N(N+2)
N當然是取最小值
40*42是16xx，30*32是9xx
直覺上我會找35*37 =36^2 -1 =4*18^2 -1 =1295
而34*36 =35^2 -1 =1225-1 =1224＜1234
取N之值為35
ANS：2433
第三題
由D往BC做垂線，垂足E
再由A往DE做垂線，垂足F
於是DE和AF將四邊形ABCD分割成長方形ABEF
和兩個30°-60°-90°的△AFD、△CDE
DF=(1/2)AD=23，EF=AB=13
CD=(2/√3)DE=72/√3
AC=√[46^2 +(72/√3)^2]
ANS：62
第四題
連接A(-4,-3)和B(4,3)
並畫一個圓心在原點O且通過兩點的圓
由於矩形的角是90°
而且對角線是此圓的直徑
根據圓的性質可知所有的矩形都內接於此圓
所以你只要找到半圓上可以形成幾個直角就知道有幾個可能的矩形
由左而右命名三個矩形在上半圓上的點為C、D、E
(1)C顯然是(-4,3)
(2)由D往Y軸做垂線，垂足H
∠BOH=53°，故∠DOH=37°
△DOH是邊長比3：4：5的△
D(-3,4)
(3)CE//AB，且C、E對稱於DO
所以C和D的坐標差就是D和E的坐標差
E(-2,5)
至於下半圓上的C'、D'、E'分別與C、D、E對稱於O
坐標也會是整數
ANS：三個
第五題
由少推多發現規律為N^2
ANS：4000000條
第六題
△ABC中以AC為斜邊
取D為AC的中點
則AD=BD=CD=d
令AB=x，AC=y
xy/2=s，x^2 +y^2 =4d^2
所求=x+y+2d =2d+√(x^2 +y^2 +2xy)
= 2d+√(4d^2 +4s)
ANS：2d +2√(s+d^2)
第七題
先找到2^N末位數字的規律：
2^1≡2；2^2≡4；2^3≡8；2^4≡6
2^5又回到2，所以是四次一循環
由於100的倍數就是4的倍數
所以859433百位數以上的8594統統不用管
859433/4餘1，表示2^859433是循環一
故其末位數字為2，而質數是2^859433-1
ANS：1
2015-04-18 12:50:22 補充：
修正第四題：
CE//AB
故CE的橫坐標差/CE的縱坐標差 = AB的橫坐標差/AB的縱坐標差 = 4：3
由於C(-4,3)，可假設E(-4+4X, 3+3X)
又AC=BE，故6=√[(-4+4X-4)^2 +(3+3X-3)^2]
36=25X^2 -64X+64，25X^2 -64X+28=0
X=2或14/25，則E(4,9)或(-44/25, 117/25)前者不在圓O上
故E的坐標非整數
答案改成兩個~
2015-04-18 13:01:12 補充：
修正第二題
從"2+3+4+...+N+1可以看成是1+2+3+...+N每項+1"開始：
級數和= N(N+1)/2 +N =N(N+3)/2≧1234
N(N+3)≧2468
50*53=2650
往回找得49*52=2548，48*51=2448
N=49，所求=2468-49
答案改成2419~
2015-04-18 5:13 am
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收錄日期: 2021-04-24 23:27:28
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