數線走路的機率問題

可以依第一題概念解其它題

(1)要回到原點, 即每次走動都需偶數步

　　設首度回到原點所需的步數為變數 X（如果此小題還考慮經過原點卻不給總次數，可能無法解題了）

　　則 2 步回到原點的情況, 可能為第一步往右後再向左（先右再左）, 或先左再右

　　故所求 = P(X = 2) + P(X = 4) + P(X = 6) + ...

　　　　　 = (1/2)^2 * 2 + (1/2)^4 * 2 + (1/2)^6 * 2 + ...
　　　　　　　＜此為首項 (1/2)^2*2, 公比 (1/2)^2 的無窮等比數列 ＞

　　　　　 = [(1/2)^2 * 2] / [1 - (1/2)^2]

　　　　　 = 2/3

2015-04-27 11:55:35 補充：
(3)與老怪物的答案不同: 5/128

(3)走10步後首度回到原點，則可能「在數線的正向走10步」或「在數線的負向走10步」兩類
　　其中，第1，2步皆為離開原點的同向（在正向走10步時，此2步皆只能向右走）
　　第9，10步皆為回到原點的同向（在正向走10步時，此2步皆只能向左走）
　　而第3～8步任意左右，仿(1)，步法有 6!/(3!3!)=20 種
　　故所求機率 = 2*(1*1*20*1*1)/1024 = 5/128

謝謝您的回答，謝謝！

一維 "隨機踱步".

馬可夫鏈的應用範例之一.

2015-04-18 12:17:00 補充：
(1) 會走回原點的機率

可證得是 1.


(2) 走10步後剛好在原點上的機率

C(10,5)(1/2)^10 = 252/1024.

(3) 走10步後首度回到原點的機率

用遞迴慢慢算?
或分析各種情形?
我用前法算得(不知有沒有錯) 7/256.

2015-04-18 12:17:22 補充：
(4) 首度回到原點的步數期望值

無窮大.
一維/2維平衡隨機踱步各 state 都是 recurrent null,
也就是必然可回訪, 但期望時間無窮大.
這點也可由極限機率得證---如果是 recurrent non-null,
各 state 機率是從該 state 出發回到該 state 之期望時間的倒數.
而在無邊界之平衡機踱, 各 state 之極限機率是 0, 也就是說沒有
正值解滿足極限機率方程式.

2015-04-18 12:17:35 補充：
(5) 走19步，在原點上的次數期望值

把 n 階轉移機率加總, 即是走 n 步到達對應 state 的期望次數.
由於只有偶數步才可能回 0, 因此只要考慮偶數階轉移機率:
P(0,0,2)+P(0,0,4)+...+P(0,0;18).
其中 P(0,0;2n) = C(2n,n)(1/2)^{2n}.


(6) 走20步，在原點上的次數期望值
(7) 走21步，在原點上的次數期望值

(6) 和 (7) 是相同的, 因為第21步結果不可能在原點.