f4 maths :(

10.
x² + 3x - 4 = 4y ...... [1]
x - 2y + 1 = 0 ...... [2]

由 [2]：
2x + 2 = 4y ...... [3]

[1] - [3]：
x² + x - 6 = 0
(x + 3)(x - 2) = 0
x = -3 或 x = 2

把 x 值代入[2] 中：
當 x = -3： y = -1
當 x = 2： y = 3/2

答： x = -3, y = -1 或 x = 2, y = 3/2


====
11.
log(x² - 2x) - log(2 - x) = 1
log[(x² - 2x) / (2 - x)] = log10
(x² - 2x) / (2 - x) = 10
x² - 2x = 20 - 10x
x² + 8x - 20 = 0
(x + 10) (x - 2) = 0
x = -10 或 x = -2 (不合，因為log(2 - x) = log 0)


====
12.
(a)
p : q = 1 : 2 = 2 : 4
p : r = 2 : 1

所以 p : q : r = 2 : 4 : 1

(b)
由於 p : q : r = 2 : 4 : 1
故設 p、q 和 r 分別為 2k、4k 和 k。

f(x) = x³ + 2kx² +4kx + k

因為 (x + 1) 為f(x) 的因式，所以 f(-1) = 0
(-1)³ + 2k(-1)² +4k(-1) + k = 0
-1 + 2k - 4k + k = 0
k = -1

f(x) = x³ - 2x² -4x - 1

(c)
f(x)
= x³ - 2x² -4x - 1
= (x³ + x²) +(-3x² - 3x) + (-x - 1)
= x²(x + 1) - 3x(x + 1) - (x + 1)
= (x + 1) (x² - 3x - 1)

f(x) / (x + 1) = 0
x² - 3x - 1 = 0

以上方程式的判別式 Δ
= (-3)² - 4(1)(-1)
= 13 > 0
有兩個不同的實根。


====
13.
(a)
5 / (1 - 2i)
= [5 / (1 + 2i)] × [(1 - 2i) / (1 + 2i)]
= 5(1 + 2i) / [(1 - 2i)(1 + 2i)]
= (5 + 10i) / [1² - (2i)²]
= (5 + 10i) / 5
= 1 + 2i

(b)
方程式一根為 1 + 2i，則另一根為 1- 2i

p = -兩根之和
p = -[(1 + 2i) + (1 - 2i)]
p = -2

q = 兩根之積
q = (1 + 2i)(1 - 2i)
q = 1² - (2i)²
q = 5

(c)
x² - 2x + 5 = k
x² - 2x + (5 - k) = 0

由於以上方程有兩個相異實根，故此 判別式> 0
(-2)² - 4(1)(5 - k) > 0
4 - 20 + 4k > 0
4k > 16
k > 4

10
x^2 +3x-4=4y i
x-2y+1=0 ii
由ii
y=(x^2 +3x-4)/4 iii
代iii入ii
x-2(x^2 +3x-4)/4 +1=0
4x-2x^2 -6x+8+1=0
2x^2+2x-9=0
x=2 或x=-3
代x=2入iii
y=(2^2 +3*2+4)/4
y=1.5
代x=-3入iii
y=[(-3)^2 -3*3-4]/4
y=-1
所以
(x,y)=(2,3)
(x,y)=(-3,1.5)

11
log(x^2 -2x) -log(2-x)=1
log[(x^2 -2x)/(2-x)]=1
(x^2-2x)/(2-x)=10
x^2-2x=20-10x
x^2 +8x-20=0
x=2(捨去) 或x=-10

12a
r:p=1:2
p:r=2:1
p:q=1:2=2:4
p:q:r=2:4:1

12b
由於 p : q : r = 2 : 4 : 1
故設 p、q 和 r 分別為 2k、4k 和 k。

f(x) = x³ + 2kx² +4kx + k

因為 (x + 1) 為f(x) 的因式，所以 f(-1) = 0
(-1)³ + 2k(-1)² +4k(-1) + k = 0
-1 + 2k - 4k + k = 0
k = -1
f(x)=x^3 -2x^2 -4x-1

12c
f(x)
= x³ - 2x² -4x - 1
= (x³ + x²) +(-3x² - 3x) + (-x - 1)
= x²(x + 1) - 3x(x + 1) - (x + 1)
= (x + 1) (x² - 3x - 1)

f(x) / (x + 1) = 0
x² - 3x - 1 = 0

以上方程式的判別式 Δ
= (-3)² - 4(1)(-1)
= 13 > 0
所以兩個不同的根

13a
5/(1-2i)
=1+2i

13b
-p/2=1
p=-2
√(2^2 -4q) /2=2i
√(4-4q)=4i
4-4q=-16
-4q=-20
q=5

13c
x^2 -2x+5=k
x^2 -2x+5-k
判別式>0
(-2)^2-4(5-k)>0
4-20+4k>0
4k>16
k>4