四件不同的禮物 分給五人 恰有2人沒分到的情形

四件不同的禮物 分給五人 恰有2人沒分到的情形?

解:
即有1人分得2份,另2人每人分得1分,另2人沒分到。
由5人中選1人然後從4份禮物選2份給此人,
再從餘下4人中選2人然後把餘下的2份禮物依任意次序分配給此2人每人一份。
(5C1 × 4C2) (4C2 × 2P2) = (5 × 6) (6 × 2) = 360種情形 。
若abc為三位數 求滿足a<=b<=c的三位數共有幾個?

解:
明顯 0 < a ≤ b ≤ c ,
當 a < b < c 時有 9C3 = 84 個,
當 a = b < c 時有 (0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8) = 36 個, 同理
當 a < b = c 時有 (0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8) = 36 個,
當 a = b = c 時有 9 個,
綜上滿足 a ≤ b ≤ c 的三位數共有 84 + 36 + 36 + 9 = 165 個 。

2015-04-10 18:46:28 補充：
第二題的第二部分為何是36個?
a = b < c
1 = 1 < 2,3,4,5,6,7,8,9 共 8 個
2 = 2 < 3,4,5,6,7,8,9 共 7 個
3 = 3 < 4,5,6,7,8,9 共 6 個
4 = 4 < 5,6,7,8,9 共 5 個
5 = 5 < 5,7,8,9 共 4 個
6 = 6 < 7,8,9 共 3 個
7 = 7 < 8,9 共 2 個
8 = 8 < 9 共 1 個
9 = 9 < NIL 共 0 個
共有 36 個。

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第二題也可以考慮重複組合

a 最小只能是 1，因此 b, c 亦然，
所以題目的依大小排列可以看成「從 1 ~ 9 中選取三個數字，可重複」

-> H(9, 3) = C(11, 3) = 165