中大數學系大學甄選入學試題[101](1)

[(cos x)²]¹⁰⁰⁰ - [(sin x)²]¹⁰⁰⁰ = 1

[(cos x)²]¹⁰⁰⁰ - [1 - (cos x)²]¹⁰⁰⁰ = 1

y¹⁰⁰⁰ - (1 - y)¹⁰⁰⁰ = 1

嘗試證明本式只有 y = 1 一實根吧。

2015-04-06 22:15:44 補充：
f(y) = y¹⁰⁰⁰ - (1 - y)¹⁰⁰⁰

f'(y) = 1000y⁹⁹⁹ + 1000(1 - y)⁹⁹⁹ > 0 for 0 < y < 1

〔而 y = cos²x 正好符合範圍〕

即 f(y) 為遞增函數，故只有一實根。

2015-04-06 22:16:55 補充：
cos²x = 1

cos(x) = ±1

x = nπ

完成

2015-04-06 22:36:54 補充：
Please read:


圖片參考：https://s.yimg.com/rk/HA00430218/o/1814789867.png


2015-04-07 01:11:55 補充：
Great! Much simpler and faster!

謝謝兩位神人，我懂了！

(cosx)^2000= 1+(sinx)^2000 > = 1
so that cosx=1 or -1
x= n pi