F.5 Maths M1 random variable

你問錯問題。

mutually exclusive 是用於 events 的，不是用於 random variables 的。

random variables 可以建構不同的 events。

例如用你的例子， X 是一個 random variable。
A = {X = 1} 是一個 event
B = {X = 1 or 3} 是一個 event
C = {X = 2 or 4} 是一個 event

A 和 B 不是 mutually exclusive，因為 P(A and B) > 0

2015-04-03 23:47:47 補充：
A 和 C 是 mutually exclusive，因為 P(A and C) = 0

但是你只是問法問錯，對於計算的思考你是對的。

2015-04-03 23:50:45 補充：
Let p(k) be the P(X = k).

由於 X 只可以 take on 一個 value，那麼當然若 i ≠ j, 那麼 {X = i} 和 {X = j} 是 mutually exclusive.

It is given that
p(1) + p(3) = 4/7
p(2) + p(4) = 3/7
p(1) + p(2) + p(3) = 6/7
p(2) + p(3) + p(4) = 5/7

可得
p(3) = 2/7
p(2) = 2/7
p(4) = 1/7
p(1) = 2/7

2015-04-03 23:51:18 補充：
而所得的
p(1) + p(2) + p(3) + p(4) = 1

所以 X 只可以取 {1, 2, 3, 4} 其中一值。

完成！

2015-04-08 01:42:28 補充：
除了以下的回答之外，也請看看意見欄。

X is a random variable satisfying
✿ P(X = 1 or 3) = 4/7
✿ P(X = 2 or 4) = 3/7
✿ P(X = 1, 2 or 3) = 6/7
✿ P(X = 2, 3 or 4) = 5/7
Find the probability distribution of X.

Let p(k) = Pr(X = k).
Then, according to the given information,
p(1) + p(3) = 4/7
p(2) + p(4) = 3/7
p(1) + p(2) + p(3) = 6/7
p(2) + p(3) + p(4) = 5/7

Therefore,
p(3) = 2/7
p(2) = 2/7
p(1) = 2/7
p(4) = 1/7

Note that p(1) + p(2) + p(3) + p(4) = 1, so X can only take value from {0, 1, 2, 3}.

The probability distribution of X is
x　P(X = x)
0　　2/7
1　　2/7
2　　2/7
3　　1/7


我想請問是不是所有 random variable 都是 mutually exclusive events？
問題有誤，不能說「所有 random variable 都是 mutually exclusive events」。
Random variable 本身不是 event，但你可以用 random variable 去建構一些events。
例如 X 是一個 random variable。
用 X 可以寫出如 {X = 1}, {X > 2}, {X is odd} 等等 events。
Random variable 不能講什麼 mutually exclusive。
Events 才能夠講 mutually exclusive。
Event A 和 event B 是 mutually exclusive 的意思是 P(A and B) = 0。
而你用 random variable X 是可以建構出 mutually exclusive 或不是 mutually exclusive 的 events。
例如：{X < 2} 和 {X > 3} 就是 mutually exclusive，因為兩事不能同時發生。
但 {X > 1} 和 {X is even} 就不是 mutually exclusive。

順帶一提，與本題無關：
只有 event 才能說 probability，同時只有 random variable 才能說 expected value 和 variance。
即是，只有 P( event ), E(random variable), Var(random variable)，
而沒有 E( event ), P( random variable ) 這些東西的！
當你說 P( X = 2 ) 的時候 {X = 2} 已經是指一個event。

（即是X=1 與 X=3 只能同時發生其中一個。）
這則是對的，即是 {X = 1} 和 {X = 4} 是 mutually exclusive，因為 X 只能取一值。

假如上述正確，
設 event A 作 X=1 or 3，B作 X=2。
則 P(A or B) = P(A) + P(B)，
就會找到P(X=2)，如此類推。
上述不完全正確，上面已解釋，但你的計算方法是對的。
因為題目提供的每一句當中的事件都是 mutually exclusive 的，例如 {X = 1 or 3} 當中的 {X = 1} 和 {X = 3}。
但留意每句事件不是mutually exclusive，例如 {X = 1 or 3} 和 {X = 1, 2 or 3}。

假若錯誤，那應該如何去理解這題？
你的做法是對的，只是用詞不正確，而從上述的講解你應該可以明白理解的方法了。
謝謝！ 客氣～