一元三次方程式的簡單題

[匿名]

2015-04-03 5:26 am

方法拿2邊法(原式和答案和答案的組合)
X^3+MX+N=0
a+b+c=0
...
用a+b=-c
a*b=-n/c
倒出a帶入
a^3+ma+n=0
求a和b和c的關係(abc不壞三角形)
a+b+c=0
...
用三元一次和abc不壞三角形倒
a*b=某a+某b+某c+某
三相加在一起在三元一次倒
a和b和c的一元二次方程式
X^3+MX+N=0和一元二次方程式
可變 6 4 3(某X^6+某X^4+某X^3=0)
4可變 2 1
代入一元二次方程式
1可變 3
最後剩 6 3 0 倒 6 2 0
6 3 0 和 6 2 0
有相同的一根
相同的一根用拿2邊法
就可倒X^3+MX+N=0的一根

題目:A和B和C分別為X^3+MX+N=0的三根求(A^3)+(B^3)+(C^3)=多少?

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回答 (1)

用戶2053

2015-04-05 10:30 am

✔ 最佳答案

X³ + MX + N = 0
由根與係數的關係:
X³ - (A+B+C)X² + (AB+BC+CA)X - ABC = 0 ... ①
比較係數得
- (A+B+C) = 0 , AB+BC+CA = M , - ABC = N
把 A , B , C 分別代入①,三式相加得
A³ + B³ + C³ + (AB+BC+CA) (A+B+C) - 3ABC = 0
A³ + B³ + C³ + (AB+BC+CA) (0) + 3N = 0
A³ + B³ + C³ = - 3N 別解:
A³ + B³ + C³ - 3ABC = (0 = A + B + C) (A² + B² + C² - AB - BC - CA) = 0
⇒ A³ + B³ + C³ = 3ABC = - 3N一般解:
X³ - (A+B+C)X² + (AB+BC+CA)X - ABC = 0 ... ①
把 A , B , C 分別代入①,三式相加得
A³ + B³ + C³ - (A+B+C) (A²+B²+C²) + (AB+BC+CA) (A+B+C) - 3ABC = 0 ... ② 把①兩方除以X :
X² - (A+B+C)X + (AB+BC+CA) - ABC/X = 0
把 A , B , C 分別代入,三式相加得
A² + B² + C² - (A+B+C) (A+B+C) + 3(AB+BC+CA) - (AB+BC+CA) = 0
A² + B² + C² = (A+B+C)² - 2(AB+BC+CA) ,
代入② :
A³ + B³ + C³ - (A+B+C)[(A+B+C)² - 2(AB+BC+CA)] + (AB+BC+CA) (A+B+C) - 3ABC = 0
A³ + B³ + C³ = (A+B+C)³ - 3(AB+BC+CA) (A+B+C) + 3ABC
A³ + B³ + C³ = 0³ - 3M(0) + 3(-N) = - 3N

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