求解5條數學。20分

(6)
解一：
[(√3) + i]⁴
= [(√3)⁴ + 4(√3)³i + 6(√3)²i² + 4(√3)i³ + i⁴]
= 9 + 12(√3)i - 18 - 4(√3)i + 1
= -8 + 8(√3)i

解二：
[(√3) + i]⁴
= 2⁴ [(1/2)(√3) + (1/2)i]⁴
= 16 [cos30° + i sin30°]⁴
= 16 [cos(30°×4) + i sin(30°×4)]
= 16 [cos120° + i sin120°]
= 16 [-cos60° + i sin60°]
= 16 [-(1/2) + i (1/2)(√3)]
= -8 + 8(√3)i


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(2)
設 u = √(2x + 3)

2x + 3 + √(2x + 3) = 12
u² + u = 12
u² + u - 12 = 0
(u - 3)(u + 4) = 0
u = 3 或 u = -4
√(2x + 3) = 3 或 √(2x + 3) = -4 (不合)
2x + 3 = 9
x = 3


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(3)
x³
= [(√10 + √2)/2]³
= (1/2)³ [(√10)³ + 3(√10)²(√2) + 3(√10)(√2)² + (√2)³]
= (1/8) (10√10 + 30√2 + 6√10 + 2√2)
= 2√10 + 4√2

xy
= [(√10 + √2)/2] [(√10 - √2)/2]
= (1/4) [(√10)² - (√2)²]
= 2

y³
= [(√10 - √2)/2]³
= (1/2)³ [(√10)³ - 3(√10)²(√2) + 3(√10)(√2)² - (√2)³]
= (1/8) (10√10 - 30√2 + 6√10 - 2√2)
= 2√10 - 4√2

x³ + xy + y³
= (2√10 + 4√2) + 2 + (2√10 - 4√2)
= 2 + 4√10


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(4)
題目有錯。

令 a = 4、b = 2、c = 2、d = 1 時： a : c = c : d

左式
= (4² - 4×2 + 2²) / (2² + 2×1 + 1²)
= 12/7

右式
= (2² - 2×1 + 1²) / (2² + 2×1 + 1²)
= 3/7
左式 = 右式


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5.
設直角三角除弦外兩邊分別長 a 公分及 b 公分。
則弦長 (36 - a - b) 公分。

三角形面積 = (1/2)ab

三角形內切圓半徑 = 2 × 三角形面積 / 三角形周長
2 × (1/2)ab / 36 = 3
ab = 108 ...... [1]

根據商高定理：
(36 - a - b)² = a² +b²
1296 + a² + b² -72a - 72b + 2ab = a² + b²
72a + 72b - 2ab = 1296
36a + 36b - ab = 648 ...... [2]

[1] + [2]：
36a + 36b = 756
a + b = 21
a = 21 - b ...... [3]

把 [3] 代入[1] 中：
(21 - b)b = 108
b² - 21b + 108 = 0
(b - 9)(b - 12) = 0
b = 9 或 b = 12

把 b 值代入 [3]中：
當 b = 9： a= 12
當 b = 12： b= 9

36 - a - b
= 36 - 12 - 9
= 15

三角形三邊長： 9 公分、12 公分、15公分

嘉熙：

It is easy, but you are not able to manage. Very poor !

you are so rubbish

2015-04-01 12:02:57 補充：
how easy