求解數學 4 ，5 題 急 20分

They are just basic quadratic equation and binomial expansion ...

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And then question 2


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(4) 假設此兩數為 26x 及 26y，則等差中項：(26x＋26y)/2＝13(x＋y)等比中項：√(26x＊26y)＝26√(xy)調和中項：2/(1/26x＋1/26y)＝52xy/(x＋y)所以，13(x＋y)－26√(xy)＝13==> x＋y＝1＋2√(xy) ⋯⋯⋯⋯ (一式)又 26√(xy)－52xy/(x＋y)＝12，由 (一式) 可得：26√(xy)－52xy/[1＋2√(xy)]＝12==> 26√(xy)＋52xy－52xy＝12＋24√(xy)==> 2√(xy)＝12==> √(xy)＝6 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ (二式)==> xy＝36 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ (三式)代 (二式) 入 (一式)，得：x＋y＝1＋2*6＝13 ⋯⋯⋯⋯⋯ (四式)解 (三式), (四式) 可得 (x, y)＝(4, 9) 或 (9, 4)所以此兩數是 26*4 及 26*9，即時 104 及 234。
(5) 利用 數學歸納法 去證明命題：P(n)：9^(n+1)－8n－9, 對所有自然數 n, 為 64 之倍數.
當 n＝1 時,
9²－8－9＝64
是 64 的倍數, 所以 P(1) 成立.假設 P(k) 成立, 即 9^(k+1)－8k－9＝64m, m 為一正整數. 即 9^(k+1)＝64m＋8k＋9.則當 n＝k＋1 時,9^(k+2)－8(k+1)－9
＝9*9^(k+1)－8k－8－9
＝9(64m＋8k＋9)－8k－17＝9*64m＋72k＋81－8k－17
＝9*64m＋64k＋64
= 64(9m＋k＋1)
亦是 64 的倍數, 所以 P(k+1) 亦成立.
故, 依數歸原理, P(n) : 9^(n+1)－8n－9, 對所有自然數 n, 為 64 之倍數.