若3x＋by＝12沒有正整數解，則b可能是下列哪一個數？

題目沒提供 b 的備選數字資料, 以下給出有(x , y)正整數解時的 b 值範圍供參考。
若 3x + by = 12 有正整數解 (x , y), 設 b = p/q 為最簡分數, 且約定q > 0。
當 p = 0 , 則 b = 0 得 x = 4, y 可取任何正整數。
若 p ≠ 0 , 則 3x + (p/q)y = 12 ⇒ y = 3q (4 - x) / p ,
令 x = 4 - kp , 其中 k 為非0整數, 則 y = 3qk > 0 , 故 k > 0。
而 x = 4 - kp > 0 , 因 k 為正, 故 p 可取一切負整數,
此時 b = p/q = - | t | / q , 其中 t 為非0整數, 整數q > 0。
若 p 為正整數, 則 (k,p) = (1,1) , (1,2) , (1,3) , (2,1) 或 (3,1) ,
此時 b = p/q = 1/q , 2/q 或 3/q , 其中整數q > 0。
綜上方程3x + by = 12 有正整數解(x , y)時 b 值的範圍是
b = 1/q , 2/q , 3/q 或 - | t | / q , 其中 t 為整數, 整數q > 0。
當 b 非以上範圍時方程 3x + by = 12 沒有 (x , y) 之正整數解。

2015-03-29 11:00:34 補充：
情況二:
令 x = 4 - ⅓ kp , 其中 k 為非0整數, 則 y = qk > 0 , 故 k > 0。
而 x = 4 - ⅓ kp > 0 , 若 p 為正整數, 則 (k,p) = (1,3) , (1,6) , (1,9) , (3,1) 或 (3,3) ,
此時 b = p/q = 3/q , 6/q 或 9/q , 其中整數q > 0。
綜合兩種情況, b = 1/q , 2/q , 3/q , 6/q , 9/q 或 - | t | / q , 其中 t 為整數, 整數q > 0。

2015-03-29 22:36:01 補充：
1/q , 2/q , 3/q , 6/q , 9/q 或 - | t | / q 都是最簡分數,
當 b 非以上最簡分數時方程 3x + by = 12 沒有 (x , y) 之正整數解。

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