F.5圓方程

1.
(a)
x² + y² - 8x - ky - 12k - 8 = 0

圓半徑
= √[(-8/2)² + (-k/2)² -(-12k - 8)]
= √[16 + (k²/4) + 12k + 8]
= (1/2)√(k² + 48k + 96)


(b)
圓心 = (8/2, k/2) = (4, k/2)

AB 為 x 軸，故 CD為鉛垂線 x = 4
故 M 的坐標為(4, 0)
設 D 的座標為 (4, d)

MD = 8
所以 d = 8 或 d= -8
D 的座標為 (4, 8) 或(4, -8)

D 在圓上：
(4)² + (8)² - 8(4)- k(8)- 12k - 8 = 0 或 (4)² + (-8)² - 8(4)- k(-8)- 12k - 8 = 0
16 + 64- 32- 8k - 12k - 8 = 0 或 16 + 64- 32+ 8k - 12k - 8 = 0
20k = 40 或 4k = 40
k = 2 或 k = 10


(c)
當 k = 2，圓方程：
x² + y² - 8x - (2)y - 12(2) - 8 = 0
x² + y² - 8x - 2y - 32 = 0
把 y = 0 (x軸) 代入圓方程：
x² - 8x - 32 = 0
x = 4 - 4√3 or x = 4 + 4√3
A 的坐標 = (4 - 4√3, 0)
B 的坐標 = (4 + 4√3, 0)

當 k = 10，圓方程：
x² + y² - 8x - (10)y - 12(10) - 8 = 0
x² + y² - 8x - 10y - 128 = 0
把 y = 0 (x軸) 代入圓方程：
x² - 8x - 128 = 0
(x + 8)(x - 16)
x = -8 or x = 16
A 的坐標 = (-8, 0)
B 的坐標 = (16, 0)