F.5 Maths probability

Hello, YTC, 很久沒有正式答你的題目了, 上一次是 2014-12-15 的 trapezoidal rule。

〔以下我簡略寫法，play 即是 play badminton。〕
〔即是 not play 即是 not play badminton 即是 play tennis。〕

其實你是要用
P(plays on Thu | plays on Wed and Fri)
這個是沒錯的。
但問題只是這個數不是 0.5.

你誤會的地方是你以為可以計
P(plays on Thu | plays on Wed) 作為答案。

但其實你這樣做是主觀地捨去了 plays on Fri 這個 given condition。
就是在這裏出錯了。

感覺上, Fri 做什麼會被之前的 Thu 做什麼而影響, 如題目指出的頭一段。
但是, 從事件的角度上看, Fri 做什麼也會「反影響」Thu 做什麼。
小心, 這句好像一點邏輯謬誤, 為什麼將來會影響以前呢?!?!?!
其實正確一點的說法是: 不是影響, 而是當 Thu 的情況不知道的情況下, 你怎樣可以用 Fri 的結果去推測你不知道而已經發生的 Thu 情況呢。

其實就是這樣的概念。
在學術上這叫作 Bayes' theorem。
當然你不需要理會名稱, 但計算上的操作你了解一下也無妨。

Bayes' theorem
P(A | B) = [ P(B | A) P(A) ] / P(B)
P(A | B) = [ P(B | A) P(A) ] / [ P(B | A) P(A) + P(B | A' ) P(A' ) ]

感覺上這個對你來說在數式上沒有什麼特別, 因為你很容易見到等式的兩邊都是
P(A and B)/P(B)。

但事實上它有一個很厲害的地方, 就是本來的情況是由 A 推論 B 的(右方), 即是已知 A 或 A' , 再看看 B 是否成立。(即是畫 tree diagram 時, 首先是分開 A 和 A' , 再每個情況分支為 B 和 B' 共兩次)
現在使用這些資料可以反過來由 B 推論 A (左方)。
這就是 Bayes' theorem 的精髄。


說回你的題目，其實在於很嚴格的寫法，你的題目也不是問：
P(plays on Thu | plays on Wed and Fri)
其實它問的是：
P(plays on Thu | plays on Tue, Wed and Fri) 才對！

所以計法是：

P(plays on Tue, Wed, Thu, Fri) / P(plays on Tue, Wed, Fri)

= [ P(Tue) P(Wed|Tue) P(Thu|Wed) P(Fri|Thu) ] / [ P(Tue) P(Wed|Tue) P(Thu|Wed) P(Fri|Thu) + P(Tue) P(Wed|Tue) P(Thu' |Wed) P(Fri|Thu' ) ]

= [ P(Thu|Wed) P(Fri|Thu) ] / [ P(Thu|Wed) P(Fri|Thu) + P(Thu' |Wed) P(Fri|Thu' ) ]

= (0.5)(0.5) / [ (0.5)(0.5) + (0.5)(0.6) ]

= 0.5 / (0.5 + 0.6)

= 5/11

簡單來說，
Ｐ〔四玩｜二玩，三玩，五玩〕

＝Ｐ〔四玩 and 二玩，三玩，五玩〕／Ｐ〔二玩，三玩，五玩〕

＝Ｐ〔二玩，三玩，四玩，五玩〕／Ｐ〔二玩，三玩，五玩〕

＝Ｐ〔三玩，四玩，五玩〕／Ｐ〔三玩，五玩〕

這裏的分母可以是有兩個情況：
（Ａ）Ｐ〔三玩，四玩，五玩〕
（Ｂ）Ｐ〔三玩，四不玩，五玩〕

2015-03-21 18:59:06 補充：
所以再補充一次：

與其說「星期五影響星期四」（好像不太合理），其實應該說，在 (不知道星期四的情況) 而 (知道星期五的情況) 之下，用數學方法推測星期四究竟發生了什麼事。

這樣的理解就最正確！
因此，若星期五的資料提供了，也要好好利用，不要輕易捨掉。

╭∧---∧╮
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╰/) ⋈ (\╯

2015-03-22 13:47:10 補充：
補充回答：

＞很清楚的圖！

「那可以說在已知Fri的情況下，限制了Thu的可能性嗎？」
＞對，就是這個意思。
＞我舉另一個極端的例子，假設某獵人每日會決定是否去打獵。
＞　若昨天沒有獵物收獲，今天就必定出動(100%)；
＞　若昨天有獵物收獲，今天就只有一半機會出動(50%)。
＞想：已知星期五沒有出去打獵，那你可確定星期四必有收獲。
＞這又是一例子為何「未來可以『影響』過去」，記住這個「影響」不是真的文字意思。

2015-03-22 13:54:47 補充：
～　字數滿額，請看意見　～

2015-03-22 13:55:31 補充：
～　看意見前請先看畢補充回答的部份　～

2015-03-22 13:55:45 補充：
「(a) 還是不太明白概念（？）(b) 在何時使用？
　(c) 之前也略有提到它，(d) 不用背，(e) 在學之前已經在用」
＞(c), (d), (e) 你完全正確！
＞的確你做題時經常在使用，之前已見過，也不必背。
＞只要自然地隨著 P(A|B) = P(A and B)/P(B) 慢慢推則更清楚。

2015-03-22 13:56:34 補充：
＞對於 (a), (b)，讓我再舉例：
＞　一班學生，男生佔30%，女生佔70%。
＞　男生戴眼鏡比率為80%，女生戴眼鏡比率為60%。
＞首先，上述情況給了你一些概率資料，你也可畫 tree diagram，先分男女，後分是否戴眼鏡。
＞數學地說：P(男) = 0.3，P(女) = 0.7，P(鏡｜男) = 0.8，P(鏡｜女) = 0.6。

2015-03-22 14:00:21 補充：
那 Bayes's theorem 是什麼呢，何時使用呢？
就是正正是「當你有 P(A | B) 的資料，但問你 P(B | A) 的值」的時候。

假設題目問 P(男｜鏡) 是什麼？
那就是使用 Bayes's theorem 的情況和時候。
你不必擔心如何使用這個 theorem，
只管像不時做數一樣，由定義和公式慢慢推就可以了。

　P(男｜鏡)
= P(男 and 鏡)/P(鏡)
= P(鏡｜男)P(男) / [P(鏡｜男)P(男) + P(鏡｜女)P(女)]
= (0.8)(0.3) / [ (0.8)(0.3) + (0.6)(0.7) ]
= ...

2015-03-22 14:06:03 補充：
其實你不必硬寫第三行的數式你也可以自然地寫到第四行的數字，對嗎？
所以你心中其實已經懂得 Bayes' theorem （即第三行的數式）。

一個小提示：
其實使用 Bayes' theorem 的時候 分子的東西 理應會在 分母 出現的。
以上的 (0.8)(0.3) 就是一例。

你將來有機會做更多類似的題目你都可以留意這一點。
有時候一些較有結構的題目，會在如 (d) part 先問你一個 prob.，稍後在 (e) part （考你 Bayes' thm 時）直接把 (d) part 的答案用於分母。

例如上題，我可以先問你 P(鏡)，之後再問 P(男｜鏡)。