高一數列遞迴關係式

1)當 n = 1 , 1a₂= 3a₁- 2 ⇒ a₂= 3(9) - 2 = 25
當 n = 2 , 2a₃= 4a₂- 2 ⇒ a₃= (4(25) - 2)/2 = 49
當 n = 3 , 3a₄= 5a₃- 2 ⇒ a₄= (5(49) - 2)/3 = 81推測 an = (2n + 1)² , 利用數學歸納法證明如下 :
設當 n = k 時成立 ak = (2k + 1)² , 則
k(a k+1) = (k + 2)ak - 2
k(a k+1) = (k + 2) (2k + 1)² - 2
k(a k+1) = (k + 2)(4k² + 4k + 1) - 2
k(a k+1) = k(4k² + 4k + 1) + 8k² + 8k
a k+1 = 4k² + 12k + 9
a k+1 = (2k + 3)² = (2(k+1) + 1)² 即當 n = k+1 時也成立,
故 an = (2n + 1)² 對整數 n ≥ 1 成立。
2)推測 1² - 2² + 3² - 4² + ... + (-1)ⁿ⁺¹ n² = (-1)ⁿ⁺¹ n(n+1)/2 , 利用數學歸納法證明如下 :
設當 n = k 時成立 1² - 2² + 3² - 4² + ... + (-1)ᵏ⁺¹ k² = (-1)ᵏ⁺¹ k(k+1)/2 ,
則當 n = k+1 時 , 1² - 2² + 3² - 4² + ... + (-1)ᵏ⁺¹ k² + (-1)ᵏ⁺² (k+1)²
= (-1)ᵏ⁺¹ k(k+1)/2 + (-1)ᵏ⁺² (k+1)²
= - (-1)ᵏ⁺² k(k+1)/2 + (-1)ᵏ⁺² (k+1)²
= (-1)ᵏ⁺² ( (k+1)² - k(k+1)/2 )
= (-1)ᵏ⁺² (k+1) ((k+1) - k/2)
= (-1)ᵏ⁺² (k+1)(k+2)/2 也成立,
故對一切自然數 n 成立 1² - 2² + 3² - 4² + ... + (-1)ⁿ⁺¹ n² = (-1)ⁿ⁺¹ n(n+1)/2。