✔ 最佳答案
假設考慮 x 在 0-b 之間(b > 0), y=x^2 曲線下之面積.
至於, 如果是 a-b 之間, 其中 0 < a < b, 只要用 0-b 之間的面積減去
0-a 之間的面積即可. 而 a < 0 < b 或 a < b < 0 的情形, 稍做修改也
可得出.
將區間 [0,b] 平均分為 n 段, 即 [0,b/n], [b/n,2b/n],...,[(n-1)b/n,b].
第 k 段是 [(k-1)b/n,kb/n]. 取 (kb/n)^2 為高做長方形, 其面積是
A(k) = (kb/n)^2*(b/n) = k^2 b^2/n^3.
把 n 個長方形面積加總, 是
A(1)+...+A(n) = Σ_{k=1～n] k^2 b^3/n^3 = [n(n+1)(2n+1)/6] b^3/n^3
當 n → ∞ 時, 其極限值為 (b^3)/3.
若不取 (kb/n)^2 為高, 而取 [(k-1)b/n]^2 為高, 則 n 個長方形面積之
和是 [n(n-1)(2n-1)/6] b^3/n^3, 極限也是 (b^3)/3.
以上兩種取法, 前者取的是最高點, 因此 n 個長方形面積和比曲線
下面積高些; 後者取的是最低點, 因此長方形整個在曲線下, 所以
n 個長方形面積和比曲線下面積低些. 而這兩者在 n →∞ 時都趨
近於 (b^3)/3, 因此可知曲線 y = x^2 與 x 軸之間, x = 0 至 x = b 範
圍內的區域面積是 (b^3)/3. 所以若是取 x = a 至 x = b 之間的範
圍, 則其面積是 (b^3)/3 - (a^3)/3.
微積分的基本定理說: 如果 f(x) 在 [a,b] 有反導函數 F(x), 也就是說
有一個在區間 [a,b] 連續, 而且在端點之外, 也就是 (a,b) 處處可微
分, 而 f(x) 恰好是其導函數, 那麼, f(x) 在 [a,b] 之定積分就是
∫_[a,b] f(x) dx = F(b) - F(a).
f(x) = x^2 在整個數線上的反導函數是 F(x) = (x^3)/3, 因此
∫_[a,b] x^2 dx = (b^3)/3 - (a^3)/3.
2015-03-22 17:33:27 補充：
1+2+...+n = n(n+1)/2
這可用
1+2+...+n
n+(n-1)+....+1
這樣的方式來得到, 這就像梯形面積公式的導源.
但 1^2+2^2+...+n^2 = n(n+1)(2n+1)/6 就無法用上述倒置加總的方式得到了,
因為那已不是直線形, 1^2+n^2 ≠ 2^2+(n-1)^2.
不過 ...
2015-03-22 17:34:55 補充：
1^2 + 2^2 +... + n^2
= [1(1-1)+1] + [2(2-1)+2] + ... + [n(n-1)+n]
= [2．1+3．2+...+n(n-1)] + (1+2+...+n)
= { [(3．2．1)-(2．1．0)]/3 + [(4．3．2)-(3．2．1)]/3 + ... + [(n+1)n(n-1)-n(n-1)(n-2)]/3}
+ (1+2+...+n)
= (n+1)n(n-1)/3 + (1+2+...+n)
= n(n+1)(n-1)/3 + n(n+1)/2
= n(n+1)(2n+1)/6
2015-03-22 17:41:41 補充：
例如區間是 [0,3], 平分為 n 段, 就是 [0,3/n],[3/n,6/n],[6/n,9/n] 以此類推.
以右側為高做長方形, 就是 3^2/n^2, 6^2/n^2, 9^2/n^2 ,... 一直到 (3n)^2/n^2,
而底都是 3/n. 所以面積和是
(3^2/n^2)(3/n) + (6^2/n^2)(3/n) + ... + [(3n)^2/n^2](3/n)
把共同因子提出來, 就是
(3/n)^3[1^2+2^2+...+n^2) = (27/n^3)n(n+1)(2n+1)/6 → 9 當 n→∞.
2015-03-24 06:34:09 補充：
x^3 這裡最後是被數列公式 就是1,4,9,16,25 ..消掉 ..3次方就不見了 對嗎？
x^3 如同上面例子的 (3/n)^3, 如改成 [0,x] 範圍的定積分就是 (x/n)^3, 是共同因子
被提出來, 其不是不見了.
2015-03-24 06:36:34 補充：
回答區補充不下了...
x^3 這裡最後是被數列公式 就是1,4,9,16,25 ..消掉 ..3次方就不見了 對嗎？
x^3 如同上面例子的 (3/n)^3, 如改成 [0,x] 範圍的定積分就是 (x/n)^3, 是共同因子
被提出來, 其不是不見了.
把前面在 [0,b], [0,3] 做積分的兩個例子再用 [0,x] 重述一下, 就是把 [0,x] 這個
區間平均分為 n 段, 成為 n 個小段, 依次是 [0,x/n], [x/n,2x/n] 至 [(n-1)x/n,x]. 第
k 小段是 [(k-1)x/n,kx/n]. ...
2015-03-24 06:37:55 補充：
... 第 k 小段是 [(k-1)x/n,kx/n]. 底下是 x 軸, 即 y=0, 上面是曲線 y=x^2.
這個區域類似高 x/n, 上下底分別是 (k-1)^2 x^2/n^2 與 k^2 x^2/n^2 的
梯形(旋轉90度).
當 n 很大時, 這跟以 (kx/n)^2 為底, 高 x/n 的矩形也差不多, 因此就說其
面積接近 (kx/n)^2 (x/n). 把這樣 n 個矩形面積加總:
2015-03-24 06:38:11 補充：
把這樣 n 個矩形面積加總:
(x/n)^2 (x/n) + (2x/n)^2 (x/n) + .... +(nx/n)^2 (x/n)
= (x/n)^3(1^2 + 2^2 + ... + n^2) = x^3 n(n+1)(2n+1)/(6n^3) → (x^3)/3.
2015-03-24 06:38:24 補充：
寬有個x 然後因為y=x^2 寬套進y=x^2求出y 所以y是高 高就有^2
寬有個x 高有x^2 所以面積會有x^3 這樣說對嗎？
大致可以這麼想. 如果 y = x^2 不是曲線而是直線, 那麼這就跟三角形而積
(1/2)(底)(高) 或梯形面積 (1/2)(上底+下底)(高) 一樣. 可是因 y=x^2 是曲線,
所以不這麼算, 而要把區間 [0,x] 或 [a,b] 分成許多細小的片段, 這樣 y=x^2
這曲線就跟直線, 甚至跟水平線差不多了, 就可以用梯形或矩形面積去做近似.
這就是上述黎曼和的想法.
