Logarithm

1.
你大概明白個概念，但你的用詞不正確。
你不應說分數，因為例如 100 也可以是分數，(100/1：一分之一百)。

正確的說法是，當 a 小於 1 時（a < 1）（但仍需要 a > 0），則句子不正確。

If x > y > 0,
log_a (x) > log_a (y) if the base a > 1log_a (x) < log_a (y) if the base 0 < a < 1
你也可以用圖像去驗證或記憶：
y = log_a (x) (where a > 1) 的圓像是上升（遞增 increasing）的。
y = log_a (x) (where 0 < a < 1) 的圓像是下降（遞減 decreasing）的。

因此，你可以用 0 < a < 1 的情況去推翻原句。

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2.
y = ax^b


圖片參考：https://s.yimg.com/lo/api/res/1.2/mkFmMZ6eEyRkskHO1CU9rw--/YXBwaWQ9dHdhbnN3ZXJzO3E9ODU-/https://i.na.cx/7zw691.png

留意圖中的直線關係。
〔我懷疑你的 Horizontal axis 是 log₀.₂x 而非 log₀.₂y〕
Slope = 2/3
Vertical intercept = 2
(我故意不用 y-intercept 這個詞語，因為那不是 y)

因此，
log₂₅y = (2/3)log₀.₂x + 2
(logy)/(log 25) = (2/3)(logx)/(log 0.2) + 2
(logy)/(log 5²) = (2/3)(logx)/(log 5⁻¹) + 2
(logy)/(2 log 5) = (2/3)(logx)/(- log 5) + 2
(logy)/(2) = (2/3)(logx)/(-1) + 2 log 5
3(logy) = -4(logx) + 12 log 5
log y³ = log x⁻⁴ + log 5¹²
log y³ = log (5¹² x⁻⁴)
y³ = 5¹² x⁻⁴
y = 5⁴ x^(-4/3)
y = 625 x^(-4/3)

a = 625
b = -4/3

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3.
x = ab^y


圖片參考：https://s.yimg.com/lo/api/res/1.2/.4.snH6J.budvvUQPDZ1KQ--/YXBwaWQ9dHdhbnN3ZXJzO3E9ODU-/https://i.na.cx/Ynmj51.png

留意圖中的直線關係。
Slope = 2/4 = 1/2
y-intercept = -2

y = (1/2) log₄x - 2
y + 2 = (1/2) log₄x
2y + 4 = log₄x
x = 4^(2y + 4)
x = 4^(2y) 4^4
x = 16^(y) 256

a = 256
b = 16


2015-03-12 23:48:37 補充：
補充回應：

第一行　2y + 4 = log₄x
第二行　x = 4^(2y + 4)
第三行　x = 4^(2y) 4^4

第一行 到 第二行 的原因：
　y = log_a (x) 就代表 x = a^y
這是定義。
因此，log₄(x) = abc，那麼 x = 4^(abc)

第二行 到 第三行 的原因：
　aˣ ⁺ ʸ = aˣ aʸ　是 law of indices