三維座標系統的直線方程

Ｑ１
你是對的。
f(x, y) = 0 是一個 implicit function，因為沒有把主項獨立出來。
例如：x² + y² + xy + x + y + 1 = 0

y = g(x) 是一個 explicit function，因為 y 已經寫成 a function of x。
例如：y = √(x³ + x - 1)

可見：
http://zh.wikipedia.org/zh-hk/%E9%9A%90%E5%87%BD%E6%95%B0

2015-03-10 00:47:33 補充：
Ｑ２
在於 3D coordinate geometry 的課題，equation of line 的確是simultaneous equation，但表示的形式可以用 vector，也可以用 equation。

以你的例子，穿過 (0, 0, 0) 和 (1, 2, 3) 兩點的直線。

Direction vector 是 (1, 2, 3) - (0, 0, 0) = (1, 2, 3)，因此，
直線以 vector 形式可以表達為：
(x, y, z) = (0, 0, 0) + (1, 2, 3)t ，其中 t 可以是任何常數。

這裏有點兒像y = mx + c

2015-03-10 00:50:39 補充：
c 就像 (0, 0, 0)
m 就像 direction vector
y 就像 (x, y, z)
x 就像 t 是一個任意變數 (像 parameter)

另外，若不想用 vector 形式表達，也可以用 equation 形式，只要把 t 約掉 (eliminate) 就成了。

以上的方程是：
(x, y, z) = (t, 2t, 3t)
即
{x = t
{y = 2t
{z = 3t
共同的 t 是 t = x = y/2 = z/3

所以寫 x = y/2 = z/3 (即 sim. eqn) 也可以在 3D co-geom 表示直線。

2015-03-10 00:54:25 補充：
一條穿過 (x₁, y₁, z₁) 和 (x₂, y₂, z₂) 兩點的直線可以描述如下：

Direction vector = (x₂, y₂, z₂) - (x₁, y₁, z₁) = (x₂ - x₁, y₂ - y₁, z₂ - z₁)

方程是：
(x, y, z) = (x₁, y₁, z₁) + (x₂ - x₁, y₂ - y₁, z₂ - z₁)t where t ∈ ℝ.

也可以用 sim. eqn. 的形式表示：
(x - x₁)/(x₂ - x₁) = (y - y₁)/(y₂ - y₁) = (z - z₁)/(z₂ - z₁)

2015-03-10 00:59:17 補充：
這裏 vector 的表達式：

(x, y, z) = (0, 0, 0) + (1, 2, 3)t
(x, y, z) = (t, 2t, 3t)
(x, y, z) = (x₁, y₁, z₁) + (x₂ - x₁, y₂ - y₁, z₂ - z₁)t

都可算是 explicit function，因為主項明顯地寫了在左方。

2015-03-10 01:01:03 補充：
也可看：

http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcIII/EqnsOfLines.aspx

（可以不理那個橢圓，看之後的就可以啦。）

2015-03-12 15:40:05 補充：

圖片參考：https://s.yimg.com/lo/api/res/1.2/ZQit8r6YM3UMER1bF6V.OQ--/YXBwaWQ9dHdhbnN3ZXJzO3E9ODU-/http://i.imgur.com/ZH9B85L.gif

己式庚辛 你好～ 過獎了~

Ｑ１
你是對的。
f(x, y) = 0 是一個 implicit function，因為沒有把主項獨立出來。
例如：x² + y² + xy + x + y + 1 = 0

y = g(x) 是一個 explicit function，因為 y 已經寫成 a function of x。
例如：y = √(x³ + x - 1)

可見：
http://zh.wikipedia.org/zh-hk/%E9%9A%90%E5%87%BD%E6%95%B0

Ｑ２
在於 3D coordinate geometry 的課題，equation of line 的確是simultaneous equation，但表示的形式可以用 vector，也可以用 equation。

以你的例子，穿過 (0, 0, 0) 和 (1, 2, 3) 兩點的直線。

Direction vector 是 (1, 2, 3) - (0, 0, 0) = (1, 2, 3)，因此，
直線以 vector 形式可以表達為：
(x, y, z) = (0, 0, 0) + (1, 2, 3)t ，其中 t 可以是任何常數。

這裏有點兒像y = mx + c

c 就像 (0, 0, 0)
m 就像 direction vector
y 就像 (x, y, z)
x 就像 t 是一個任意變數 (像 parameter)

另外，若不想用 vector 形式表達，也可以用 equation 形式，只要把 t 約掉 (eliminate) 就成了。

以上的方程是：
(x, y, z) = (t, 2t, 3t)
即
{x = t
{y = 2t
{z = 3t
共同的 t 是 t = x = y/2 = z/3

所以寫 x = y/2 = z/3 (即 sim. eqn) 也可以在 3D co-geom 表示直線。

一條穿過 (x₁, y₁, z₁) 和 (x₂, y₂, z₂) 兩點的直線可以描述如下：

Direction vector = (x₂, y₂, z₂) - (x₁, y₁, z₁) = (x₂ - x₁, y₂ - y₁, z₂ - z₁)

方程是：
(x, y, z) = (x₁, y₁, z₁) + (x₂ - x₁, y₂ - y₁, z₂ - z₁)t where t ∈ ℝ.

也可以用 sim. eqn. 的形式表示：
(x - x₁)/(x₂ - x₁) = (y - y₁)/(y₂ - y₁) = (z - z₁)/(z₂ - z₁)

這裏 vector 的表達式：

(x, y, z) = (0, 0, 0) + (1, 2, 3)t
(x, y, z) = (t, 2t, 3t)
(x, y, z) = (x₁, y₁, z₁) + (x₂ - x₁, y₂ - y₁, z₂ - z₁)t

都可算是 explicit function，因為主項明顯地寫了在左方。

也可看：

http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcIII/EqnsOfLines.aspx

（可以不理那個橢圓，看之後的就可以啦。）

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以下 嗚謝 andrew 網友的補充，請容許我加入解答以補充資料。謝謝你。

加一小點...

直線s to d寫成s + (d - s)* t 叫parametric equation.
Parametric equations 是 differential geometry的起點，想像用dx/dt, dy/dt 等可以變成各種各樣的curve properties 如arc length或 curvature.

ax + by + cz + d = 0 寫成 multi-variable polynomial 是 algebraic geometry的開端。algebraic geometry亦應用甚廣。



圖片參考：https://s.yimg.com/rk/HA00430218/o/1358776290.jpg

加一小點...

直線s to d寫成s + (d - s)* t 叫parametric equation.
Parametric equations 是 differential geometry的起點，想像用dx/dt, dy/dt 等可以變成各種各樣的curve properties 如arc length或 curvature.

ax + by + cz + d = 0 寫成 multi-variable polynomial 是 algebraic geometry的開端。algebraic geometry亦應用甚廣。