高中排列組合(進出問題和集合問題)

2015-03-09 10:27 pm

各位大大請問
(1)一房間有7個門，甲乙丙3人要進出此房間，3人不能由同一個門進(出)自己用過的門不能再用，有幾種方法??

(2)某班學生上數學課常不帶課本，某個星期中，週一有10人沒帶，週二有9人沒帶，週三有13人沒帶，若這三天共有20人沒帶課本，則這三天中連續三天都沒帶課本的學生最多有______人。
答案：6
解析：設Ai表示第i天沒帶課本
n ( A1 )＝10，n ( A2 )＝9，n ( A3 )＝13
n ( A1∪A2∪A3 )＝20
若A1∩A2∩A3最大
即 ( A1∩A2 )＝( A2∩A3 )＝( A1∩A3 )＝( A1∩A2∩A3 )
設三天都沒帶書有x人
則10－x＋9－x＋13－x＋x＝20
2x＝12 x＝6

我看不懂( A1∩A2 )＝( A2∩A3 )＝( A1∩A3 )＝( A1∩A2∩A3 )這四個為什麼會相等??請各位大大幫忙想一下並解說一下或有更好的其他方法也可以謝謝

回答 (1)

慈信

2015-03-11 1:48 am

✔ 最佳答案

(1) 進 :7x6x5=210
　出 : 1*P(7,3) - 3*P(6,2) +3*P(5,1)*P(4,0)　　= 1 * 7! / 4! - 3 * 6! / 4! + 3 * 5! / 4! * 4! / 4!= 134

　所以210 * 134 = 28140
(2)題目要求 , 這三天中連續三天都沒帶課本的學生最多人,所以
　　( A1∩A2∩A3) = ( A1∩A2 )＝( A2∩A3 )＝( A1∩A3 )

　n( A1∪A2∪A3 )
= n(A1) + n(A2) + n(A3) - n(A1∩A2) - n(A2∩A3) - n(A1∩A3) + n(A1∩A2∩A3)
= 10 + 9 + 13 - x - x - x + x = 20

x = 6

2015-03-11 02:06:14 補充：
(1) 更正

出 : 1*P(7,3) - 3*P(6,2) + 3*P(5,1) - 1*P(4,0) = 134

2015-03-11 02:15:26 補充：
(1) 公式解法 :

　假設有n個人,m道門

　出門的方法數會是:
　 C(n,0)*P(m,n) - C(n,1)*P(m-1,n-1) + C(n,2)*P(m-2,n-2) - ..... C(n,n)*P(m-n,n-n)

　對照到這題
　算式就是 C(3,0)*P(7,3) - C(3,1)*P(6,2) + C(3,2)*P(5,1) - C(3,3)*P(4,0)

2015-03-11 02:48:38 補充：
(2) (A1∩A2∩A3) = (A∩B∩C) 最大圖示 :

　┌────┬──────┬────┐
　│　　　│　　　　│　　　│
　│　Ａ　│Ａ∩Ｂ∩Ｃ｜　C　│
　│　　　│　　　　│　　　│
　└────┼──────┼────┘
　　　　 │　　Ｂ　│
　　　　 └──────┘

使(A1∩A2∩A3)最大 , 則 ( A1∩A2∩A3) , ( A1∩A2 ) , ( A2∩A3 ) , ( A1∩A3 ) 重疊

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