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方程式:2log(1-x)-log| x^2-1 |-2=0之根為x=多少
我自已看了參考書，參考書的解法如下:
(1)1-x > 0 ===> x < 1
首先界定 x 的範圍. 由於在實數系中考慮對數, 必須是正數
才能取對數, 因此方程式中有 log(1-x) 這一項, 就限制了 x < 1.
又, 有 log |x^2-1| 這一項, 所以 x^2 ≠ 1, 即 x 不能是 1 或 -1.
但 x < 1 已排除 1, 所以實際上 x 的有效範圍是:
x < 1 且 x ≠ -1.
(2) 2log(1-x)-log| x^2-1 |-2=0
log(1-x)^2-log| x^2-1 |=log4
log(1-x)^2/| x^2-1 |=log4 ===>(1-x)^2/| x^2-1 |=4
(1-x)^2=4| x^2-1 | 但1-x>0 ====>看不懂
(1-x)^2=4| 1-x |* | 1+x | =====>看不懂
(i)當x>-1時，1-x=4(1+x) ===> x=-3/5
(ii)當x<-1時，1-x=-4(1+x) ===> x=-5/3
在 x < 1 範圍內, 2log(1-x) = log(1-x)^2,
又, 以 2 為底, 故 2 = log(4).
所以原方程式可以寫成
log(1-x)^2 - log|x^2-1| = log(4)
或即 log [(1-x)^2/|x^2-1|] = log(4)
兩邊拿掉 log, 即是 (1-x)^2/|x^2-1| = 4,
或即
(1-x)^2 = 4|x^2-1| = 4|1-x^2| = 4|(1-x)(1+x)| = 4|1-x|．|1+x| = 4(1-x)．|+x|
在 x < 1 且 x≠-1 範圍, 分成 x < -1 與 -1 < x < 1 兩種情形討論.
若 x < -1, 則 |1+x| = -(1+x) 因此時 1+x < 0.
故方程式變成 (1-x)^2 = -4(1-x)(1+x)
因 1-x > 0, 消去兩邊共同因子, 得 1-x = -4(1+x), 解之, 得 x = -5/3.
若 -1 < x < 1, 則 |1+x| = 1+x, 因此時 1+x > 0.
故方程式變成 (1-x)^2 = 4(1-x)(1+x).
同樣消去 1-x, 得 1-x = 4(1+x), 解之, 得 x = -3/5.
其中關鍵步驟是把 |x^2-1| = |1-x^2| 分解成 |1-x| 與 |1+x| 相乘,
以便消去 1-x 這個共同因子, 簡化方程式.
2015-03-08 08:08:03 補充：
如果方程式改成 :2log|1-x|-log| x^2-1 |-2=0, 那麼, 就沒有 1-x > 0 的條件,
而只有 x ≠ ±1.
其解仍是 -5/3 及 -3/5.
為何如此? 此係因 1-x > 0 時, log(1-x) = log|1-x|.
然則是否前面的解法 1-x > 0 的條件 "多此一舉"?
非也! 1-x > 0 並非強加之條件, 而是 log(1-x) 這一項所必然.
而且, 1-x > 0 只用於解題過程兩處: 一是 |1-x^2| = (1-x)|1+x|;
二是消掉方程式兩邊共同因子 (1-x), 而其能對消之理由是 1-x≠0.
2015-03-08 08:32:59 補充：
考慮方程式
(1) 3log(1-x) - log|x^2-1| = 0
(2) 3log|1-x| - log|x^2-1| = 0
(1) 之等價方程式: (1-x)^3 = |x^2-1|, x < 1, x≠-1
(2) 之等價方程式 |1-x|^3 = |x^2-1|, x ≠ ±1
消掉不為 0 之共同因子, (1) 是 (1-x), (2) 是 |1-x|, 結果均簡化成 (1-x)^2 = |1+x|.
2015-03-08 08:33:42 補充：
x < -1 無解, 故只有 x > -1, 即 1+x > 0. 所以方程式進一步化簡得 (1-x)^2 = 1+x.
在無限制時, 最後這個方程式的解是 x = 0 或 3, 它們也都是 (2) 的解; 但 3 不
是 (1) 的解, 0 才是,
2015-03-08 20:50:09 補充：
(x-2)^2=3|x^2-4|可以改寫成(x-2)=3|x+2|?
僅當 x > 2 時可以.
(x-2)^2 = |x-2|^2 = 3|x^2-4| = 3|x-2|．|x+2|
當 x≠2 時, 可消去 |x-2|, 成為 |x-2| = 3|x+2|
而僅當 x > 2 才可寫成 (x-2) = 3|x+2|.
另兩個類似.
另, 請參考我 03-08 08:32:59 補充之例.
以上因回答區補充不下, 故貼於意見區.
