等比復利應用總額問題

ai)俊賢在2015年年終從儲蓄計劃所得的金額
= $ P(1.05)俊賢在2016年年終從儲蓄計劃所得的金額
= $ ( P(1.05) + P(1.1) ) 1.05
= $ ( P(1.05)² + P(1.1)1.05 )俊賢在2017年年終從儲蓄計劃所得的金額
= $ ( P(1.05)² + P(1.1) 1.05 + P(1.1)² ) 1.05
= $ ( P(1.05)³ + P(1.1) 1.05² + P(1.1)² 1.05 )aii)俊賢在第n 年的年終從儲蓄計劃所得的金額
= $ ( P(1.05)ⁿ + P(1.1)1.05ⁿ⁻¹ + P(1.1)² 1.05ⁿ⁻² + ... + P(1.1)ⁿ⁻¹ 1.05 )視之為首項 = P(1.05)ⁿ , 公比 = 1.1/1.05 , 共有 n 項之等比數列和
= $ P(1.05)ⁿ ( (1.1/1.05)ⁿ - 1) / (1.1/1.05 - 1)
= $ 21P (1.05)ⁿ ( (1.1/1.05)ⁿ - 1)
= $ 21P (1.1ⁿ - 1.05 ⁿ)b) 設最快於2014年後第n年年終俊賢從儲蓄計劃所得的金額足夠購買該車位, 則2014年後第 n 年年終俊賢從儲蓄計劃所得的金額
= $ 21(50000) (1.1ⁿ - 1.05ⁿ) = $ 1050000 (1.1ⁿ - 1.05ⁿ)
該車位於2014後第 n 年年終時的市值 = $ 500000 (1.05)ⁿ 有 1050000 (1.1ⁿ - 1.05ⁿ) ≥ 500000 (1.05)ⁿ , 其中 n 為正整數。
105 (1.1ⁿ) ≥ 155 (1.05ⁿ)
105/155 ≥ (1.05 / 1.1)ⁿ
21/31 ≥ (21/22)ⁿ
log (21/31) ≥ n log (21/22)
n ≥ log (21/31) / log (21/22) ... 不等號轉向因 log (21/22) < 0
n ≥ 8.37...
正整數 n ≥ 9 ∴ 最快於2014年後第9年即2023年的年終俊賢從儲蓄計劃所得的金額足夠購買該車位。