一些中學機率觀念問題

1.
(1). 問為什麼袋中的三顆紅球要視為不同的球?

(消極理由)
如果不視為不同的球, 那麼, 是否不管紅球幾個, 白球幾個, 機率都一樣?
這顯然是不合理的. 100個紅球加2個白球, 抽2個都是紅球的機率, 必然
是遠高於2個紅球2個白球.

(積極理由)
這與下一個疑問有關, 即使紅球之間, 白球之間, 外觀、質量等均相同,
上面仍可做標記, 而標記不可能改變所問事件的機率, 但卻使紅球之間、
白球之間是可區辨的.



2.
(1). 為什麼上一題"同時"取出兩球，所以兩球沒有順序之分
所以(紅、白) = (白、紅)
那這一題為什麼也是"同時"擲出兩個硬幣，可是
卻有順序之分? ex:(正、反) 不等於 (反、正)
"同時" 取出兩球, 這兩球是絕對不可分的; 而 "同時" 擲兩個硬幣, 這兩
個硬幣卻可標記, 因而不是絕對不可分的.事實上, 如果不是機率算法涉及 "機會公平" 原則, 純就實驗結果來看,
如果兩硬幣確實一模一樣不可區辨, 那麼 (正,反) 與 (反,正) 是同一種
結果而不可分, 應合併為 "一正一反". 然而, "一正一反" 與 "2正", "2反"
機會並不均等. 這由兩硬幣可分時的結果可知. 因為, 機率並不因為兩
硬幣是可區分不可區分而有所不同.再者, 如果不是 "同時" 抽2個球, 而是一次抽一個, 抽2次, 但抽出後不
放回, 這時順序是可區分的, 但所問事件機率仍不變. 同樣地, 兩硬幣
一前一後丟出而非同時丟, 只要所問事件不涉及順序, 其機率也和同
時丟兩個硬幣相同.

更明確地說, 若抽球問題是一次一個抽2次, 結果可分順序, 因而有
(紅,紅), (紅白), (白,紅) 及 (白,白) 4種; 其機率依次是:
(3/5)(2/4) = 3/10; (3/5)(2/4) = 3/10, (2/5)(3/4) = 3/10 及 (2/5)(1/4) = 1/10;
同時抽則只有 2紅, 1紅1白, 及 2白 這3種, 其機率依次是:
C(3,2)C(2,0)/C(5,2) = 3/10; C(3,1)C(2,1)/C(5,2) = 6/10,
及 C(3,0)C(2,2)/C(5,2) = 1/10.




3.
(1). "投擲兩粒骰子一次"是指"同時"還是"一個一個擲"，為什麼?

基本上是同時投擲. 但如果一個一個來, 對所問事件機率並無影響.
而且, 基於 "機會公平" 原則, 在計算機率時, 如前一題擲硬幣一般,
必須假設兩骰子是可區分的, 這就與一次丟一個骰子丟2次效果一
樣.


(2). 如果時同時丟的話，那答案是不是就要改成 4 、 2 ?

由於 n(A), n(B) 及樣本空間點數 n(S) 等是用於採用 "機會公平" 原則
計算機率之用, 因此, 如 (1) 之說明, 必須假設兩骰子是可區分的. 所
以, n(S) = 6×6 = 36; n(A) = n{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)} = 6;
n(B) = n(S) - n({5,6),(6,6),(6,5)} = 36-3 = 33.

所以 P(A) = 6/36 = 1/6; P(B) = 33/36 = 11/12.




2015-03-08 10:38:20 補充：
2.
(1).
"同時" 取出兩球, 這兩球順序是絕對不可分的; 而 "同時" 擲兩個硬幣, 這兩
個硬幣卻可標記, 因而不是絕對不可分的.

一些中學機率觀念問題
1.袋中有5個大小相同的球，其中紅球3個、白球2個，試求:
第一次取出紅球機率3/5
若第一次取紅球，第二次取紅球機率:2/4
兩次皆紅球機率:(3/5)*(2/4)=3/10

2.同時擲二個公正硬幣，試求:

出現一正一反的機率?
第一次出現正的機率:1/2
第二次出現正的機率:1/2
第一次出現反的機率:1/2
第二次出現反的機率:1/2
兩次都是正的:(1/2)*(1/2)=1/4
兩次都是反的:(1/2)*(1/2)=1/4
一正一反:1-1/4-1/4=1/2


3.投擲兩粒骰子一次，點數和小於5的事件為A，點數和小於11的事件為B，
求 (1) n(A) =? (2) n(B) = ? Ans 6 , 3
兩顆骰子點數和小於五機率
(1/6)*(3/6)+(1/6)*(2/6)+(1/6)*(1/6)=(3+2+1)/36=1/6=n(A)
(1/6)*1+(1/6)*1+(1/6)*1+(1/6)*1+(1/6)*(5/6)+(1/6)*(4/6)=(6+6+6+6+5+4)/36=
11/12=n(B)


這一題想請問 (1). "投擲兩粒骰子一次"是指"同時"還是"一個一個擲"，為什麼?
不影響，兩個皆獨立事件

(2). 如果時同時丟的話，那答案是不是就要改成 4 、 2 ?
NO

第一題
因為你是算事件的樣本數
如果把三顆紅球編號為1、2、3
取兩顆紅球可能是12、23、13等三種情況
同樣的如果把五顆球編號為1、2、3、4、5
取兩顆可能是12、13、14、15、23、24、25、34、35、45等十種情況
所以算法是C(3,2)/C(5,2)= 3/10


第二題
這題也沒有順序之分
只是兩枚硬幣可能是1正2正、1反2正、1正2反、1反2反
所以是1/2
如果要寫計算過程那就是1-全正-全反
= 1 -(1/2)^2 -(1/2)^2


第三題
"投擲兩粒骰子一次"就是說這一次投擲兩粒骰子
等點數：1+1、2+2
異點數：1+2、1+3
故n(A)=4

至於n(B)建議用扣的來做
意即6*6-全6(一種)-一個5一個6(兩種)
故n(B)=33