中學數學一問(多邊形相關)

把三角形分3類:
Ⅰ類: 三角形的3邊皆為該n邊形的對角線
該n邊形共有 nC2 - n = n(n-3)/2 條對角線, 最多可構成 n(n-3)/2C3 個三角形。
Ⅱ類: 三角形的1邊為該n邊形的一邊,另2邊為該n邊形的對角線
因每頂點可引 n-3 條對角線, 故這樣的三角形共有 n(n-3)² 個。
Ⅲ類: 三角形的2邊為該n邊形的2連邊,另1邊為該n邊形的對角線
這樣的三角形共有 n 個。
故最多可得到 n(n-3)/2 C 3 + n(n-3)² + n
= n(n-3)/2 (n(n-3)/2 - 1) (n(n-3)/2 - 2) / 3! + n(n-3)² + n
= k(k - 1)(k - 2)/6 + 2k(n - 3) + n 個三角形。(其中 k = n(n-3)/2 )

2015-03-15 02:01:40 補充：
然而上式所表上界僅在 n = 4 、5 時達到。 對於n ≥ 6, 並非任何3條對角線都可構成三角形,而由相鄰頂點分別所引之對角線也不一定相交,故上式高估了Ⅰ、Ⅱ類三角形的數量。

若對角線 AC 及 BD 的交义點是 P，則 ABP, BCP, CDP 也是三角形，
還有其他的，最多應該是 30 個 三角形。

C(n,3) = n(n-1)(n-2) / (3*2*1) = n(n-1)(n-2) / 6

例如:
五角形 , 若各邊皆不等
C(5,3) = 5*4*3 / 6 = 10
最多可得到10個三角形.

驗證:
設其頂點為A,B,C,D,E, 則可能的三角形:
ABC
ABD
ABE
ACD
ACE
ADE
BCD
BCE
BDE
CDE
以上確實有10個三角形.

2015-03-08 14:03:35 補充：
誠如 邊位都好 所言,交叉點所形成的三角形也要考慮,
是我忽略了.