微分斜率與導函數一問

方法一 :

斜率 = lim h->0 [(x+h)²-x²] / h　　x=2代入
　　= lim h->0 [(2+h)²-2²] / h
　　= lim h->0 [4+4h+h²- 4] / h
　　= lim h->0 [4h+h²] / h
　　= lim h->0 [4+h]
　　= 4


方法二 :

斜率 = dy/dx | x=2
　　= dx²/dx| x=2
　　= 2xdx/dx| x=2
　　= 2x| x=2
　　= 4

斜率 = 4 是通過 (2,4) 的切線斜率


2015-03-10 16:43:03 補充：
方法一 :
斜率 = lim h->0 [(x+h)²-x²] / h　　x=3代入
　　= lim h->0 [(3+h)²-3²] / h
　　= lim h->0 [9+6h+h²- 9] / h
　　= lim h->0 [6h+h²] / h
　　= lim h->0 [6+h]
　　= 6

方法二 :
斜率 = dy/dx | x=3
　　= dx²/dx| x=3
　　= 2xdx/dx| x=3
　　= 2x| x=3
　　= 6

斜率 = 6 是通過 (3,9) 的切線斜率

2015-03-10 16:45:55 補充：
切線斜率的用途 :

物理上 y = f(x) = x² ，切線斜率就是代表速度的意思，

當初牛頓就是為了求出瞬間速度而推出導函數的原理

有補充問題 麻煩慈信大大再回答一下 就會選解答了 謝謝唷 ^^

y = f(x) = x^2

x=2 時 y = f(2) = 2^2 = 4

又, f'(2), 即 x=2 時的導數,

(1) 依定義
y' = f'(2) = lim_{h→0} (f(2+h)-f(2))/h = lim_{h→0} ((2+h)^2-4)/h = 4

(2) 依公式 f'(x) = 2x, 故
y' = f'(2) = 2(2) = 4.


所問都是 "對". 不過, 更重要的是你知道這些式子究竟在幹什麼.

2015-03-10 19:32:34 補充：
y = x^2 在認何一點 x 的導數就是 y' = 2x, 當然你帶這個式子計算 x=a 時
的斜率是 2a 與依定義式 lim_{h→0} {(a+h)^2-a^2}/h 計算得到的會相同.



計算斜率有什麼用? 微積分教本就有一些應用的例子.

就以你說的曲線畫圖而言, 你說直接畫, 當然可以, 不就是描點作圖嗎?
不過, 有了 y = f(x) 的一階導函數 f'(x) 及二階導函數 f"(x), 可以不需逐
點描繪, 只需要幾個關鍵點的函數值及其一二階導數, 即能將曲線描繪
得不錯.