高一數列與數學歸納法的問題

1. a10
= 9/(9+2)*8/(8+2)*7/(7+2)*......*2/(2+2)*1/(1+2)*a1
= 9/11＊8/10＊7/9＊⋯⋯＊2/4＊1/3＊3
= (2*1)/(11*10)＊3
= 3/55

2. a1 = 5
a2 = 12 = 5 + 1*3 + 1*4
a3 = 22 = 5 + (1+2)*3 + 2*4
a4 = 5 + (1+2+3)*3 + 3*4 = 35
⋯⋯
a10
= 5 + (1+2+3+...+9)*3 + 9*4
= 5 + 45*3 + 9*4
= 5 + 135 + 36
= 176

3. 設數列 滿足a1＝1/2，an+1＝1/(2－an)，n>=1，推測 an＝n/(n+1)。

令 P(n) : an = n/(n+1), n>=1
當 n＝1 時, a1＝1/(1+1)＝1/2
所以 P(1) 成立.假設 P(k) 成立, 即 ak = k/(k+1),
則 ak+1
= 1/(2－ak)
= 1/[2－k/(k+1)]
= (k+1)/(2k+2-k)
= (k+1)/(k+2)
即 P(k+1) 亦成立.
故, 依數歸原理, P(n) : an = n/(n+1) 對所有自然數 n 成立.
4. 設 P(n)：10^(2n)＋5*12^n－6, 則
P(1)：100＋5*12－6＝154＝2*7*11
P(2)：10000＋5*144－6＝10714＝2*11*487
P(3)：1000000＋5*1728－6＝1008634＝2*11*45847

令 P(n)：10^(2n)＋5*12^n－6, 對所有自然數 n, 為正質數 11 之倍數.
當 n＝1 時,
100＋5*12－6
＝154
＝11*14
是 11 的倍數, 所以 P(1) 成立.假設 P(k) 成立, 即 10^(2k)＋5*12^k－6 = 11m, m 為一正整數. 則 P(k+1),10^(2k+2)＋5*12^(k+1)－6
= 100*10^(2k)＋5*12*12^k－6
= 10^(2k)＋99*10^(2k)＋5*12^k＋55*12^k－6
= 11m＋99*10^(2k)＋55*12^k
= 11(m＋9*10^(2k)＋5*12^k)
亦是 11 的倍數, 所以 P(k+1) 亦成立.
故, 依數歸原理, P(n) : 10^(2n)＋5*12^n－6, 對所有自然數 n, 為正質數 11 之倍數.

4. n為正整數，[10^(2n) + 5 × 12^n – 6 ]定為正質數p之倍數。

(1)推測p之值?
n=1, (100 + 5×12 - 6) = 11*2*7
n=2, (10000 + 5×144 - 6) = 10714 = 11*2*487
n=3, (1000000 + 5*1728 - 6) = 1008634 = 11*2*45847

p=11

2015-03-01 15:50:13 補充：
(2)請以數學歸納法，證明(1)之結果。
　當n=k, [10^(2k) + 5 × 12^k – 6 ] = 11 t

　當n=k+1,
　　[10^(2k+2) + 5 × 12^(k+1) – 6 ]
　=[100*10^(2k) + 12×5 × 12^k – 6 ]
　=[12*10^(2k) + 12×5 × 12^k – 6 + 88*10^(2k)]
　=12*(11t) + 88*10^(2k)
　=11[12*t + 8*10^(2k)] 故得證

1.

a1 = 3,
a2 = (1/3)．3 = 1
a3 = (2/4).1 = 1/2
如是一直算至 a10 = 3/55.


或者:
a(n) = [(n-1)/(n+1)]a(n-1)
= [(n-1)/(n+1)][(n-2)/n]a(n-2) = [(n-1)/(n+1)][(n-2)/n]a(n-2)
= {[(n-1)(n-2)...1]/[(n+1)n...3]}a(1)
= {2/[(n+1)n]}a(1) = 6/[n(n+1)]
故 a(10) = 6/110 = 3/55

2015-03-01 09:12:00 補充：
3.

a1 = 1/2
a2 = 1/(2-1/2) = 2/3
a3 = 1/(2-2/3) = 3/4
歸納出(猜測)公式 a(n) = n/(n+1).

n=1 時, a(1) = 1/2 true
設 n = k 時, a(k) = k/(k+1),
則 a(k+1) = 1/(2-a(k)) = 1/[2-k/(k+1)] = (k+1)/(k+2)
即 n = k+1 時亦得 a(n) = n/(n+1)

故, 依數歸原理, a(n) = n/(n+1) 對所有自然數 n 成立.