機率問題?獨立事件?

第一題 :
此為抽取後放回 , 每次拿球不會互相影響 , 所以為獨立事件
每次取白球的機率 : 25/50 = 1/2 , 每次取黑球的機率 : 25/50 = 1/2
所以取白球機率永遠都是50%
取白球的機率在這種情況不會提高


另一種情況 : 抽取後不放回 , 每次拿球會互相影響 , 則為相依事件,取白球的機率在這種情況會提高


第二題 與 第一題相同
黑球 : 1 - 25
白球 : 26 - 50
每次取1-25的機率 : 25/50 = 1/2 , 每次取26-50的機率 : 25/50 = 1/2
所以取26-50的機率永遠都是50%
取26-50的機率會在這種情況不會提高

2015-03-01 16:08:03 補充：
麻辣大解題之情形為

自箱中共取 8次球 , 抽取後放回 , 8球中取到 7黑1白的機率為 1/32

其算法是用二項分配 : C(n,x) * p^x * (1-p)^(n-x)

奧妙的微積分
"就算我取了無窮多個黑球"
"下一次取到白球的機率還是50%"
這是用膝蓋想都知道不可能的事

不可能發生的不是第二行，而是第一行才對。

簡單整理一下，你的論述實際上包含兩個事件，連續拿到第七次黑球，以及
下次(第8次)拿白球，後者在前者之後發生‧

再來，就提到你想問的問題了，你想問的，其實就是在前者完成後，後者「依照
程序」發生的機率，在數學上，我們把它稱為「條件機率」；因為在第八次抽球
前我們就把球放回去了，故依序發生的第八次抽球並不會受前七次抽球的影響，
機率仍為1/2，和單次執行抽出白球的機率相同，即條件機率=
事件機率(其實就是獨立事件的定義)，稱前者和後者互為「獨立事件」(就是前者的
發生不影響後者發生的機率(仍為單獨發生的機率值))

麻辣大的回答指的是 連續拿到七次黑球「且」第八次白球的機率，
而且答案應該是C(8，1)乘1/32 = 1/4，

前一位的回答已經相當完整，僅僅手癢補充一些自己的看法，我不缺點數，可以的話可以給認真回答的前一位

這個矛盾一直頗具爭議性
數學家是把每一次當作獨立事件
不過我個人是持一般性的想法
因為我也不同意執著在某一次~

其實數學家自己都知道
長遠來看白球和黑球的數量會相當接近
所以如果我已經取到一整個房間的黑球
下一次取到白球的機率還是只有50%嗎？
如果是這樣的話
就算我取了無窮多個黑球
下一次取到白球的機率還是50%
這是用膝蓋想都知道不可能的事~

假設現在已經連續拿到了第7次黑球 每次拿起來的球都會放回去洗亂
那我下次拿白球的機率是多少? Ans: 25/50= 1/2
這算是獨立事件嗎? Ans. 是.
所以機率永遠都是50%嗎? Ans. 何謂 "永遠"?
白球的機率會在這種情況提高嗎? Ans. "提高"? 跟什麼比?



跟上面一樣連續拿到7個號碼都是1-25這裡面的號碼
跟上面一樣每次拿起號碼球再放回去洗亂
那我下次拿26-50號碼的機率是多少呢? Ans. 25/50 = 1/2.
這也算是獨立事件嗎一樣50%嗎 Ans. 沒錯.

2015-03-01 10:07:15 補充：
問 "下一次..." 的機率, 等於問在所述條件下的條件機率.

連拿7次黑球, 下一次拿白球的機率, 等於當時狀態下拿白球
的機率. 因每次取球後均放回, 再弄混, 狀態仍是25白25 黑,
所以機率仍是 25/50.

以號碼取代顏色, 並未改變問題本質. 把1-25號視為黑球,
26-50號視為白球, 結果與黑白球殊無二致.

2015-03-04 08:20:53 補充：
"連續拿到七次黑球「且」第八次白球的機率" 是 (1/2)^7．(1/2) = 1/256,
不是 1/32 也不是 1/4.

8次抽球拿到7次黑1次白, 是 C(8,1)．(1/2)^7．(1/2) = 8/256 = 1/32.
其中 C(8,1) 是因 一次白球可在8次抽球之任一次發生, 但這並非
先連續7次黑再接著1次白.

2015-03-04 08:29:00 補充：
把 "奧妙的微積分" 所述稍修正一下, 以免 "手放開" 所說 "不可能" 情況:

如果連續抽出100000次黑球, 下一次抽球結果是白球的機率仍是 1/2 嗎?


我的回答, 也是機率學的標準答案是:
如果球確實混勻了, 如果抽的時候是任意(無意識地)抓而非看準了某一
顏色的球才抓, 那麼答案是肯定的, 是 1/2.

2015-03-04 08:29:13 補充：
換個操作情境:
以某種 "公正" 方式丟一 "公正" 銅板(硬幣), 這裡強調 "公正" 是確保
出現正、反面機率都是 1/2. 那麼, 如果某次實驗連續丟出 1000000
次反面, 下一次丟的結果是正面的機率是多少?

答案仍是 1/2.

2015-03-04 08:34:23 補充：
當然, 實務上 "幾乎不可能" 連續丟出 100000 或 1000000 次反面, 因為
那機率太低了! 但 "幾乎不可能" 並非不可能. 在機率學上機率0的事件猶
能發生, 何況這機率雖小, 卻仍是正數.


前面強調 "公正". 但在這 "公正" 情況下出現所謂連續 100000 次, 或即
使只是連續 100 次都 "幾乎不可能". 但如果真的發生了, 那麼, 在 "公正"
條件下, 下一次投擲結果並不受前面結果影響, 所以出現正面機率仍是 1/2.

2015-03-04 08:39:56 補充：
話說回來, 既然在 "公正" 情況下出現所謂連續 100000 次反面幾乎不可能,
那麼看到這樣的結果, 或許該懷疑的是 "公正嗎?"

如果拋卻 "公正" 的假設, 那麼, 連續 100000 次反面, 下一次投擲結果有理
智的人大概都會猜測是反面, 而不會猜測是正面. 因為, 前面100000次試驗
結果顯示這操作明顯傾向得到 "反面" 結果.

2015-03-05 17:39:39 補充：
"奧妙的微積分" 說
" 其實數學家自己都知道 長遠來看白球和黑球的數量會相當接近 "

這是一個誤解!

長遠來看, 抽中白球和黑球的相對比例與箱中白球、黑球比例相近,
而且試越多次這個比例越接近. 然而, 試越多次, 白球數與黑球數的
差距可能越大 ... 至少是有更大機會得到大的球數差距.

2015-03-05 17:42:53 補充：
若抽 n 次, 白球數是 X(n), 黑球數就是 n - X(n), 所以其差距是
2X(n) - n.

若箱中白球、黑球數相等, 則 E[2X(n) - n] = 0, 但
Var(2X(n)-n) = 4Var(X(n)) = 4n(1/2)(1-1/2) = n.

這就表示:
試越多次, 累計的白球數與黑球數, 有更大機會得到大的球數差距.