為什麼球體的體積公式是 半徑x半徑x半徑x圓周率x三分之四

球面積公式為 4π(R^2). 球體積公式為 4/3 π(R^3)


公式推導：

設有一球，半徑R.

設球面上一點到球心的連線與水平面夾角為θ

則通過此點的水平平面與球相切得到到圓半徑為R cosθ.

這個圓的面積為A= π(R^2) (cosθ)^2.

如有另一個圓和它平行，而同屬於這個球的水平切圓時..

當這2個圓非常接近時，這2個圓的面積也趨近相等..

2個圓之間圍的體積可視為圓柱.

設這2圓之間距離為dh，則dh = d(R sinθ) = Rcosθdθ

2個圓之間所圍的體積為Adh = π(R^3) (cosθ)^3 dθ

夾角θ最大為π/2，最小為-π/2.

若這個球體和很多水平面相切，任意相鄰水平面的距離都非常近..

則球的體積近似於將所有任意2個圓之間所圍的體積相加.

所以球體的體積為

(範圍：-π/2到π/2)∫π(R^3) (cosθ)^3 dθ = 4/3 π(R^3).

設有2同心球體，當2球半徑相當接近時，其表面積亦相當接近.

若表面積為A，內層的球半徑為R，半徑相差dr，

則2球面間所包圍的體積近似於Adr.

又所包含的體積 = 外層球體積 - 內層球體積.

所以Adr = 4/3 π(R + dr)^3 - 4/3 π(R^3)

= 4/3π[3(R^2)dr + 3R(dr)^2 + (dr)^3] ，所以

A = 4/3π[3(R^2) + 3Rdr + (dr)^2] ，又因dr趨近於0，所以含dr的項可忽略.

所以表面積A = 4π(R^2).

此一過程即對球體體積公式微分，簡略的計算式為

d[4/3 π(R^3)] / dR = 4π(R^2).

等你上大學讀微積分的時候
這東西就很簡單了
比較有趣的是這公式一開始不是用微分推導出來的
而是某一個天才平白無故就想到
然後用三一律證明之~

1.我們先算出一個以半徑為高的圓柱體，由於球體的體積等於圓柱體的三分之四，所

以可求出此公式(此比例為阿基米德發現的)

2.表面積則大約是圓形的四倍，因此可求出此公式。

球體的體積為

(範圍：-π/2到π/2)∫π(R^3) (cosθ)^3 dθ = 4/3 π(R^3).

對球體體積公式微分
d[4/3 π(R^3)] / dR = 4π(R^2).