數學多項式&複數i的計算

第一題
設(X+2)^8= (X^2 +3X+3)Q(X) +R(X)
R(X)的一般式為AX+B
令X^2 +3X+3=0 則 (X+2)^8=R(X)
(X+2)^8 = [(X+2)^2]^4 = (X^2 +4X+4)^4
= (X+1)^4 = [(X+1)^2]^2 = (X^2 +2X+1)^2
= (-X-2)^2 = X^2 +4X+4 = X+1


第二題
令Z=A+Bi，A、B為實數且A＞0
1-√3i = (A+Bi)^2 = (A^2 -B^2) +2ABi
故A^2 -B^2 =1，2AB=-√3
A^2= B^2 +1，AB=(-√3)/2
把右式化為B=(-√3)/2A代入左式
A^2= 3/(4A^2) +1，4A^4 -4A^2 -3=0
A^2= 3/2或-1/2，而A是正實數
故取A=√(3/2)=√6 /2，則B=-√2 /2
Z=√6 /2 -(√2 /2)i


第三題
Z=2/(1+√3i)=(1-√3i)/2
2Z=1-√3i，(2Z-1)^2=(-√3i)^2，4Z^2 -4Z+1=-3
Z^2 -Z+1=0，所以Z是方程式X^2 -X+1=0的一個根
而根據實係數方程式的虛根成對定理
Z的共軛複數Z'就是另一個根
F(Z)*F(Z')= (Z^4 +4Z+1)(Z'^4 +4Z'+1)
由於Z^2 -Z+1=0、Z'^2 -Z'+1=0
且X^4 +4X+1= (X^2 -X+1)(X+1) +3X+1
故F(Z)*F(Z')=(3Z+1)(3Z'+1)=13


第四題
F(X)= X^2 +2(K-2) +K
= [X+(K-2)]^2 -K^2 +5K-4
故F(X)的最低點坐標為(2-K, -K^2 +5K-4)
-K^2 +5K-4＜0，K^2 -5K+4＞0
(K-1)(K-4)＞0，K＞4或K＜1

(1)兩根皆小於-1則橫坐標2-K＜-1
K＞1，故K＞4

(2)兩根皆大於1則橫坐標2-K＞1
K＜1

(3)有空補上~

2015-02-22 16:05:53 補充：
第四題：
方程式X^2 +2(K-2)X +K=0的公式解為
X= 2-K +√(K^2 -5K+4)、2-K -√(K^2 -5K+4)
由於以下三題的X皆為實數
故K^2 -5K+4≧0，2-K +√(K^2 -5K+4) ≧ 2-K -√(K^2 -5K+4)
K≧4或K≦1 ~(一)

(1)-1＞ 2-K +√(K^2 -5K+4) ≧ 2-K -√(K^2 -5K+4)
-1＞ 2-K +√(K^2 -5K+4)，K-3＞√(K^2 -5K+4)≧0
K≧3滿足(一)的K≧4
K^2 -6K+9 ＞ K^2 -5K+4，K＜5
故4≦K＜5~

2015-02-22 16:12:12 補充：
(2)2-K +√(K^2 -5K+4) ≧ 2-K -√(K^2 -5K+4) ＞-1
2-K -√(K^2 -5K+4) ＞-1，3-K＞√(K^2 -5K+4) ≧0
K≦3滿足(一)的K≦1
K^2 -6K+9＞K^2 -5K+4，K＜5
故K≦1~

2015-02-22 16:16:25 補充：
(3)2-K +√(K^2 -5K+4)＞1，2-K -√(K^2 -5K+4)＜1
2-K +√(K^2 -5K+4)＞1，√(K^2 -5K+4)＞K-1≧0，K≧1
K^2 -5K+4＞K^2 -2K+1，3K＜3，K＜1
故無符合條件的K值~

2015-02-22 23:05:08 補充：
第四題有沒有較為方便的做法
公式解煩瑣又容易出錯～～～

第一題也可以這樣解，僅限除式=0無實數解以及除式為二次式
http://i.imgur.com/S86V5li.png

1.多項式(x+2)^8除以x^2+3x+3所得的餘式為?
令x^2+3x+3=0
(x+2)^8
=[(x+2)^2]^4
=(x^2+4x+4)^4
=(x^2+3x+3+x+1)^4
=(x+1)^4
=[(x+1)^2]^2
=(x^2+2x+1)^2
=(x^2+3x+3-x-2)^2
=(x+2)^2
=x^2+4x+4
=x^2+3x+3+x+1
=x+1

其餘式為x+1