數學難題... 排列組合、機率與期望值

1、現有10元硬幣6個、50元硬幣1個、500元鈔票2張，試求：
(1) 付款方法 [ANS：41]
(2) 可付款金額 [ANS：35]
各有多少種？
Sol.
(1)此題類似於算一正整數正因數個數。將10元、50元、500元看成三個質因數，則正整數10^6x50^1x500^2之因數個數為(6+1)(1+1)(2+1)=42個，但要小心，其中包含「1」，也就是付款0元要扣掉，故付款方法為42-1=41種

(2)此題討論會比較容易理解，以下為討論過程(須小心金額會重複要扣掉)：

圖片參考：https://s.yimg.com/lo/api/res/1.2/XRvIEYjR5zlziHfKVAXlzg--/YXBwaWQ9dHdhbnN3ZXJzO3E9ODU-/http://i.imgur.com/327V999.png

故可付款金額為4+7+5+7+5+7=35種

2、試求 C11取0*2^11 - C11取1*2^10 + 11取2*2^9 - C11取3*2^8 + ... + C11取10*2 - C11取11 之值 [ANS：1]
像這種題目，除了1個1個慢慢乘，硬算出答案以外
有沒有其他算法
因為數字為乘越大，很容易弄錯
Sol.
此題為二項式定理的題目，把題目還原回去可以得到以下結果：

圖片參考：https://s.yimg.com/lo/api/res/1.2/cWhkMpBabMIt4LjVXfPJLw--/YXBwaWQ9dHdhbnN3ZXJzO3E9ODU-/http://i.imgur.com/IUZD1gQ.png


3、籤筒中有10支籤，其中3支為吉籤，諾甲、乙兩人依序自籤筒中抽出一支籤，取後放回，則甲、乙兩人抽中吉籤的機率分別為何？ [ANS：P(甲)=3/10，P(乙)=3/10]
若取後不放回，則甲、乙兩人抽中吉籤的機率分別為何？ [ANS：P(甲)=3/10，P(乙)=3/10]
Sol
取後放回：兩人中獎機率相同，所求機率P=「吉籤數/樣本數」=3/10
取後不放回：甲中獎機率不影響，因為甲第一個抽籤，P甲= 3/10
乙中獎機率須討論如下：
甲有中獎，則乙中獎機率為(3/10)(2/9)=6/90
甲沒中獎，則乙中獎機率為(7/10)(3*9)=21/90
綜合上述討論，乙中獎機率為兩個情況的機率和，故P乙=3/10


4、同時擲3個均勻的硬幣一次，若出現K個正面，可得2K元，若沒有出現正面則賠16元，求擲一次的期望值 [ANS：1元]
Sol.
令隨機變數K為擲出的正面次數，

圖片參考：https://s.yimg.com/lo/api/res/1.2/JIWfkSF4SeDLXBf3qKxLFg--/YXBwaWQ9dHdhbnN3ZXJzO3E9ODU-/http://i.imgur.com/uyvFh1n.png


圖片參考：https://s.yimg.com/lo/api/res/1.2/XIfJqqozTdqLucoyVOhQ5Q--/YXBwaWQ9dHdhbnN3ZXJzO3E9ODU-/http://i.imgur.com/SUfVpOK.png


2015-02-16 22:21:03 補充：
抱歉有打錯的地方
「甲沒中獎，則乙中獎機率為(7/10)(3*9)=21/90」改為「甲沒中獎，則乙中獎機率為(7/10)(3/9)=21/90」

2015-02-16 22:27:45 補充：
「則正整數10^6x50^1x500^2之因數個數」改為「則正整數10^6x50^1x500^2之正因數個數」

2015-02-16 23:04:40 補充：
感謝螞蟻雄兵大大的解法，此法更快呢，但思路要轉一下^^

現有10元硬幣6個、50元硬幣1個、500元鈔票2張，試求：
(1) 付款方法 [ANS：41]

10元硬幣6個付款方法：0~6個共7種
50元硬幣1個付款方法：0~1個共2種
500元鈔票2張付款方法：0~2張共3種

7*2*3=42 再減去 三個都 0 的一種

42-1=41

1、現有10元硬幣6個、50元硬幣1個、500元鈔票2張，試求：
(2) 可付款金額 [ANS：35]
Sol
10元硬幣6個、50元硬幣1個、500元鈔票2張
=>
10元硬幣11、500元鈔票2張
=>
(11+1)*(2+1)－1=35