中五級數學直線和圓方程

(1a) 因切線與直線 3x－y＋5＝0 互相垂直，可假設該切線方程為 x＋3y + c＝0。將此方程代入圓方程，得(-3y－c)²＋y²－2(-3y－c)＋8y＋7＝0==> 10y²＋(6c＋14)y＋(c²＋2c＋7)＝0 ⋯⋯⋯⋯ [1]因為 △＝0，所以(6c＋14)²－4(10)(c²＋2c＋7)＝0==> 4c²－88c＋84＝0==> 4(c－1)(c－21)＝0==> c＝1 或 21所以，此兩條切線方程是：x＋3y＋1＝0 及 x＋3y＋21＝0
(1b) 代 c＝1 入 [1]，得10y²＋20y＋10＝0==> y＝-1代 y＝-1 入 x＋3y＋1＝0，得 x＝2，即此切點是 (2, -1)；代 c＝21 入 [1]，得10y²＋140y＋490＝0==> y＝-7代 y＝-7 入 x＋3y＋21＝0，得 x＝0，即此切點是 (0, -7)所以，兩條切線的切點坐標是 (2, -1) 及 (0, -7)

(36a) 因 P 在圓上，所以，
(1)²＋(8)²－10(1)＋k(8)＋9＝0
==> k＝-8


即此圓的方程是
x²＋y²－10x－8y＋9＝0
==> (x－5)²＋(y－4)²＝32
所以，圓心 C 的坐標是 (5, 4)。

(36b) 代 y＝0 入圓方程，得
x²－10x＋9＝0
==> (x－1)(x－9)＝0
==> x＝1 或 9
所以，A 的坐標是 (1, 0)；B 的坐標是 (9, 0)。


(36c) ∠AQB＝∠APB ⋯⋯ (同弓形內的圓周角)
因為 AP＝8，AB＝8，且∠PAB 是一直角，所以∠APB＝45°
即∠AQB＝45°

2已解..............